《2023年新高考数学之导数专项重难点突破（新高考专用）》专题15 利用导数研究方程的根(解析版)

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专题 15 利用导数研究方程的根
一、单选题
1．已知函数 有两个极值点，则实数 a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【解析】对原函数求导得， ，
因为函数 有两个极值点，
所以 有两个不等实根，即 有两个不等实根，
亦即 有两个不等实根.令 ，则
可知 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，又因为当 时， ，当 时， ，
所以 ，解得 ，即 a的范围是 .故选：B
2．若方程 有三个不同的实数根，则 的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【解析】设 ， ，令 ，解得 或 ，
则 ， 随 的变化如下表
单调递增 极大值 4
单调递
减
极小值 单调递增
则当 时，函数有极大值 ；当 时，函数有极小值 ，
又当 时， ，当 ， ，
所以当 时， 有三个不同的实数根，此时 ，故选： .
3．若关于 的方程 有两个实数根，则实数 的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解析】由题意得 ，设 ， .
当 时， ， 为增函数；
当 时， ， 为减函数,且.
所以 有最大值 ，简图如下，
由图可知， 时符合题意.故选：C.
4．设函数 ，若方程 有 个不同的实根，则 的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【解析】令 ；
方程 有 个不同的实根等价于 与 有 个不同的交点；
当 时， ，
则当 时， ；当 时， ；
在 上单调递增，在 上单调递减， ；
则可得 图象如下图所示，
由图象可知：当 时， 与 有 个不同的交点；
综上所述：实数 的取值范围为 .故选：A.
5．若关于 x的方程 在区间 内恰有两个相异的实根，则实数 m的取值范围为
（ ）
A．B．C．D．
【解析】依题意关于 x的方程 在区间 内恰有两个相异的实根，
，构造函数 ， ，
所以 在区间 递减；在区间 递增.
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