《2023年新高考数学之导数专项重难点突破（新高考专用）》专题14 利用导数研究函数零点问题(解析版)

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专题 14 利用导数研究函数零点问题
一．函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参
数的值或取值范围.
求解步骤：
第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与 轴(或直线 )在某区间上的交点
问题；
第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像；
第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数.
二．利用导数确定函数零点的常用方法
(1)图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极(最)值的位置，借助数形结合的思想分析问题
（画草图时注意有时候需使用极限）．
(2)利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、
极值(最值)及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数．
三．利用函数的零点求参数范围的方法
(1)分离参数( )后，将原问题转化为 的值域(最值)问题或转化为直线 与
的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解；
(2)利用函数零点存在定理构建不等式求解；
(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．
专项突破一　判断函数零点的个数
一、单选题
1．函数 所有零点的个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】由题可知， ，且 ，
故函数 为定义域上的偶函数，且 ，
当 ，且 时， ，
当 时， ，函数 单调递减，且 ，故函数 在区间 上无零点，
当 时， ，函数 单调递减，当 时， ，当 时， ，故函数
在区间 上必存在一点 ，使得 ，所以函数 在区间 上有 1个零点，
又函数 为定义域上的偶函数，则函数 在区间 上有 1个零点，又 ，
所以函数 共有 3个零点.故选：C.
2．已知函数 ，则函数 的零点个数为（）
A．1 B．0 C．3 D．2
【解析】当 时， ，得 ，即 ，成立，
当 时， ，得 ，设 ， ，
，得 或 （舍），
当 时， ，函数 单调递增，
当 时， ，函数 单调递减，
所以 时，函数取得最大值， ， ， ，
根据零点存在性定理可知， ，存在 1个零点，
综上可知，函数有 2个零点.故选：D
3．函数 的零点个数为()
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】 ，
令 ， ，则 ，故 h(x)在 上单调递增，
∵ ， ，
∴存在唯一的 ，使得 ，即 ，即 ， ，
∴当 时， ， ， 单调递减，
当 时， ， ， 单调递增，
∴ ，
∴函数 的零点个数为 1．故选：B．
4．已知 ，则函数 的零点个数为（）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】函数 定义域为 ，求导得： ，
令 ， ，显然 在 上单调递减，而 ， ， ，
则存在 ，使得 ，即 ，当 时， ， ，当 时， ，
，因此， 在 上单调递增，在 上单调递减，
，
而 ，则存在 使得 ，即 在 上
存在唯一零点，又 ，令 ， ，
则 在 上单调递减， ， ，
于是得 ，则存在 使得 ，即 在 上存在唯一零点，
综上得：函数 的零点个数为 2.故选：C
5．已知 a∈R，则函数 零点的个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．与 a有关
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