《2023年新高考数学之导数专项重难点突破（新高考专用）》专题13 利用导数研究不等式能成立问题(解析版)

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专题 13 利用导数研究不等式能成立问题
已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：
（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出
函数的图象，利用数形结合的方法求解．
① 一般地， ，使得 有解，则只需 ；
② ，使得 有解，则只需 。
一、单选题
1．已知 ，若∃，使 ，则实数 的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【解析】依题意可得不等式 在 内有解，设 ， ，
则 ，
由 ，得 ，令 ，得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
因为 ， ，所以 ，所以 .故选：A.
2．若存在 ，使得不等式 成立，则实数 k的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【解析】存在 ，不等式 成立，
则 ， 能成立，即对于 ， 成立，
令 ， ，则 ，令 ，
所以当 ， 单调递增，
当 ， 单调递减，又 ，所以
f(x)>−3
，
所以 .故选：C
3．已知函数 ，若在定义域内存在 ，使得不等式 成立，则实数 m的最小值是
（ ）
A．2 B．C．1 D．
【解析】函数 的定义域为 ， .
令 ，得 或 （舍）.
当 时， ；当 时， .
所以当 时， 取得极小值，也是最小值，且最小值为 1.
因为存在 ，使得不等式 成立，所以 ，所以实数 m的最小值为 1.故选：C
4．若关于 的不等式 在 上有解，则实数 的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【解析】依题意： ，令 ，
则 ，令 ，
则 ，易知 单调递增， ，所以 单调递增，
故 ，故 ，则 在 上单调递增，故 ，
即实数 的取值范围为 ，故选：B.
5．已知函数 ， ．若对任意 ，总存在 ，使得
成立，则实数 的最大值为（ ）
A．7 B．5 C．D．3
【解析】因为 ，所以 ，
所以当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
因为 ， ， ， ，
所以当 时， ，
因为 ，所以 在区间 上单调递减，
所以当 时， ，
因为对任意 ，总存在 ，使得 成立，所以 ，即 ，
所以实数 的最大值为 3，故选：D
6．已知定义在 上的函数 ，对任意 ，当 时，都有 ，若存在
，使不等式 成立，则实数 的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【解析】因为对任意 ，当 时，都有 ，所以 在 上单调递增，
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