《2023年新高考数学之导数专项重难点突破（新高考专用）》专题12 利用导数研究不等式恒成立问题（原卷版）

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专题 12 利用导数研究不等式恒成立问题
(1)构造函数分类讨论：遇到 f(x)≥g(x)型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数
h(x)＝f(x)－g(x) 或“右减左”的函数 u(x)＝g(x)－f(x)，进而只需满足 h(x)min≥0或u(x)max≤0，将比较法的思
想融入函数中，转化为求解函数最值的问题，适用范围较广，但是往往需要对参数进行分类讨论．
(2)分离函数法：分离参数法的主要思想是将不等式变形成一个一端是参数 a，另一端是变量表达式 v(x)的
不等式后，应用数形结合思想把不等式恒成立问题转化为水平直线 y＝a与函数 y＝v(x)图象的交点个数问
题来解决．　　
(1)∀x1∈D1，∃x2∈D2，f(x1)＞g(x2)，等价于函数 f(x)在D1上的最小值大于 g(x)在D2上的最小值
即f(x)min＞g(x)min(这里假设 f(x)min，g(x)min 存在)．其等价转化的基本思想是：函数 y＝f(x)的任意一个函数值
大于函数 y＝g(x)的某一个函数值，但并不要求大于函数 y＝g(x)的所有函数值．
(2)∀x1∈D1，∃x2∈D2，f(x1)＜g(x2)，等价于函数 f(x)在D1上的最大值小于函数 g(x)在D2上的最大值(这里假
设f(x)max，g(x)max 存在)．其等价转化的基本思想是：函数 y＝f(x)的任意一个函数值小于函数 y＝g(x)的某一
个函数值，但并不要求小于函数 y＝g(x)的所有函数值．　　
典例 1.已知函数 f(x)＝ax＋ln x＋1，若对任意的 x＞0，f(x)≤xe2x恒成立，求实数 a的取值范围．
典例 2.设函数 f(x)＝ln x＋，k∈R.
(1)若曲线 y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线与直线 x－2＝0垂直，求 f(x)的单调性和极小值(其中 e为自然对数的
底数)；
(2)若对任意的 x1＞x2＞0，f(x1)－f(x2)＜x1－x2恒成立，求 k的取值范围．
典例 3.已知函数 f(x)＝x3＋x2＋ax.
(1)若函数 f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，求实数 a的最小值；
(2)若函数 g(x)＝，对∀x1∈，∃x2∈，使 f′(x1)≤g(x2)成立，求实数 a的取值范围．
典例 4.已知函数 f(x)＝，g(x)＝－x3＋(a＋1)x2－3ax－1，其中 a为常数．
(1)当a＝1时，求曲线 g(x)在x＝0处的切线方程；
(2)若a＜0，对于任意的 x1∈[1,2]，总存在 x2∈[1,2]，使得 f(x1)＝g(x2)，求实数 a的取值范围．
专项突破练
一、单选题
1．若不等式 对任意实数 x都成立，则实数 a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．已知函数 ，对 都有 成立，则实数 的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数 ， ，若 ， 恒成立，则实
数k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知不等式 对任意 恒成立，则实数 a的最小值为（ ）
A．B．C．D．
5．若关于 的不等式 ，对 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．若关于 x的不等式 在 上恒成立，则实数 a的取值范围为
（ ）
A．B．
C．D．
7．已知函数 ，若 对 恒成立，则实数 的取值范围为
（ ）
A．B．
C．D．
8．已知不等式 恒成立，则 a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
9．若函数 ，g(x)= 对任意的 ，不等式 恒成立，则整数 m的最小
值为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．-1
二、多选题
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