《2023年新高考数学之导数专项重难点突破（新高考专用）》专题11 利用导数证明不等式(解析版)

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专题 11 利用导数证明不等式
考点一　单变量不等式的证明
1.待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，利用导数研究其单调
性，借助所构造函数的单调性即可得证．　　
2.若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个都便于求导的函数，从而找到可以
传递的中间量，达到证明的目标．　　
3.导数的综合应用题中，最常见就是 ex和ln x与其他代数式结合的难题，对于这类问题，可以先对 ex和ln x
进行放缩，使问题简化，便于化简或判断导数的正负．常见的放缩公式如下：
(1)ex≥1＋x，当且仅当 x＝0时取等号；
(2)ex≥ex，当且仅当 x＝1时取等号；
(3)当x≥0时，ex≥1＋x＋x2, 当且仅当 x＝0时取等号；
(4)当x≥0时，ex≥x2＋1, 当且仅当 x＝0时取等号；
(5)≤ln x≤x－1≤x2－x，当且仅当 x＝1时取等号；
(6)当x≥1时，≤ln x≤，当且仅当 x＝1时取等号．　　
考点二　双变量不等式的证明
破解含双参不等式的证明的关键
一是转化，即由已知条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的不等式转化为含单参的不等式；
二是巧构造函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；
三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果．　　
考点三　证明与数列有关的不等式
(1)证明此类问题时常根据已知的函数不等式，用关于正整数 n的不等式替代函数不等式中的自变量．通过
多次求和达到证明的目的．此类问题一般至少有两问，已知的不等式常由第一问根据待证式的特征而得
到．
(2)已知函数式为指数不等式(或对数不等式)，而待证不等式为与对数有关的不等式(或与指数有关的不等
式)，还要注意指、对数式的互化，如 ex＞x＋1可化为 ln(x＋1)＜x等．　　
专项突破一　单变量不等式的证明
1．已知 ， ， ．
(1)当 时，求函数 的极值；
(2)当 时，求证： ．
【解析】(1) ，当 时， ，即 在 上单调递减，
故函数 不存在极值；
当 时，令 ，得 ，
x
+ 0 -
增函数 极大值 减函数
故 ，无极小值.
综上，当 时，函数 不存在极值；
当 时，函数 有极大值， ，不存在极小值．
(2)显然 ，要证： ，即证： ，即证： ，
即证： ．令 ，故只须证： ．
设 ，则 ，当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
即 ，所以 ，从而有 ．故 ，即 ．
2．已知函数 .
(1)若 在 上有 2个零点，求 a的取值范围；
(2)证明： .
【解析】(1)当 时， ，由 ，得 .
设函数 ，则 .
当 时， ；当 时， .
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 .
因为 ，且 在 上有 2个零点.
所以 a的取值范围为 .
(2)要证 ，只需证 .
当 时， ，则 .
当 时， ；当 时， .
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，当且仅当 时，等号成立.
设函数 ，则 .
当 时， ；当 时， .
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，当且仅当 时，等号成立.
故 ，因为 ，所以等号取不到，所以 ，
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