《2023年新高考数学之导数专项重难点突破（新高考专用）》专题09 导数新定义问题(原卷版)

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专题 09 导数新定义问题
一、单选题
1．给出以下新定义：若函数 在 D上可导，即 存在，且导函数 在 D上也可导，则称
在D上存在二阶导函数，记 ，若 在 D上恒成立，则称 在 D上为凸函数．以
下四个函数在定义域上是凸函数的是（ ）
A．B．C．D．
2．对于三次函数 ，现给出定义：设 是函数 的导数， 是
的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函数 的
“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐
点”就是对称中心．设函数 ，则 （ ）
A．0 B．1 C．D．
3．我们把分子、分母同时趋近于 0的分式结构称为 型，比如：当 时， 的极限即为 型．两个
无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在 1696 年提出洛必达法则：在一定条件下通过
对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如： ，则
（ ）
A．0 B．C．1 D．2
4．定义方程 的实根 叫做函数 的“新驻点”，若函数 ， ，
的“新驻点”分别为 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数 及其导函数 ，若存在 使得 ，则称 是 的一个“巧值点”．
下列选项中没有“巧值点”的函数是（ ）
A．B．
C．D．
6．定义满足方程 的解 叫做函数 的“自足点”，则下列函数不存在“自足点”的是
（ ）
A．B．
C．D．
7．拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数 在闭区间 上的图象连
续不间断，在开区间 内的导数为 ，那么在区间 内至少存在一点 c，使得
成立，其中 c叫做 在 上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得
函数 在 上的“拉格朗日中值点”的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
8．已知函数 的定义域为 ，若 在 上为增函数，则称 为“ 阶比
增函数”．若函数 为“ 阶比增函数"，则实数 的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知函数 及其导数 ，若存在 ，使得 ，则称 是 的一个“巧值点”，
下列函数中，没有“巧值点”的是（ ）
A．B．
C．D．
10．函数 在区间 ， 上连续，对 ， 上任意二点 与 ，有 时，我们
称函数 在 ， 上严格上凹，若用导数的知识可以简单地解释为原函数的导函数的导函数（二阶导函
数）在给定区间内恒为正，即 .下列所列函数在所给定义域中“严格上凹”的有（ ）
A．B．
C．D．
11．已知函数 及其导数 ，若存在 ，使得 ，则称 是 的一个“青山点”．下
列函数中，有“青山点”的是（　　）
A． B． C． D．
12．若函数 在区间 D上是减函数，且函数 在区间 D上也是减函数，其中 是函数
的导函数，则称函数 是区间 D的上“缓减函数”，区间 D叫作“缓减函数”．则下列区间
中，是函数 的“缓减函数”的是（ ）
A．B．
C．D．
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