《2023年新高考数学之导数专项重难点突破（新高考专用）》专题09 导数新定义问题(解析版)

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专题 09 导数新定义问题
一、单选题
1．给出以下新定义：若函数 在 D上可导，即 存在，且导函数 在 D上也可导，则称
在D上存在二阶导函数，记 ，若 在 D上恒成立，则称 在 D上为凸函数．以
下四个函数在定义域上是凸函数的是（ ）
A．B．C．D．
【解析】对于 A选项， ，则 ，不是凸函数；
对于 B选项， ，则 ，不是凸函数；
对于 C选项， ，则 在 R上不恒成立，不是凸函数；
对于 D选项， ，则 ，在定义域上恒成立，是凸函数.
故选：D.
2．对于三次函数 ，现给出定义：设 是函数 的导数， 是
的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函数 的
“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐
点”就是对称中心．设函数 ，则 （ ）
A．0 B．1 C．D．
【解析】依题意得， ， ，令 ，解得 x＝1，
∵ ，∴函数 的对称中心为 ，则 ，
∵ ，∴ ．
故选：A.
3．我们把分子、分母同时趋近于 0的分式结构称为 型，比如：当 时， 的极限即为 型．两个
无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在 1696 年提出洛必达法则：在一定条件下通过
对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如： ，则
（ ）
A．0 B．C．1 D．2
【解析】 ，故选：D
4．定义方程 的实根 叫做函数 的“新驻点”，若函数 ， ，
的“新驻点”分别为 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【解析】由题意： ，
所以 分别为 的根，即为函数
的零点，可解得 ；
为单调递增函数，且 ，所以 ，
令 ，解得 ，或 ，
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，由 ， ， ，
，所以 ，所以 .故选：B.
5．已知函数 及其导函数 ，若存在 使得 ，则称 是 的一个“巧值点”．
下列选项中没有“巧值点”的函数是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】对于 A选项， ，由 可得 ，解得 或 ，
所以，函数 有“巧值点”；
对于 B选项， ，由 可得 ，其中 ，
令 ，其中 ，则 ， ，
由零点存在定理可知，函数 在区间 上有零点，
所以，函数 有“巧值点”；
对于 C选项， ，由 可得 ，这与 矛盾，
所以，函数 没有“巧值点”；
对于 D选项， ，因为 ，所以，函数 有“巧值点”.
故选：C.
6．定义满足方程 的解 叫做函数 的“自足点”，则下列函数不存在“自足点”的是
（ ）
A．B．
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