《2023年新高考数学之导数专项重难点突破（新高考专用）》专题08 利用导数解决实际问题(原卷版)

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专题 08 利用导数解决实际问题

专项突破一利润问题

一、单选题

1．在“全面脱贫”行动中，某银行向某贫困地区的贫困户提供 10 万元以内的免息贷款，贫困户小李准备

向银行贷款 x万元全部用于农产品土特产的加工与销售，据测算每年利润 y（单位：万元）与贷款 x满足关

系式，要使年利润最大，小李应向银行贷款（）

A．3万元 B．4万元 C．5万元 D．6万元

二、多选题

2．已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为 10 万元，每生产 1000 件需另投入 2.7 万元.设该公司一

年内生产该品牌服装 x千件并全部销售完，每千件的销售收入为万元，且

当该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大时，则有（）

A．年产量为 9000 件B．年产量为 10000 件

C．年利润最大值为 38 万元 D．年利润最大值为 38.6 万元

三、填空题

3．某一学习兴趣小组对学校超市某种商品的销售情况进行了调研，通过大量的数据解析，发现该商品每

日的销售量（百件）与销售价格（元/件）满足，现已知该商品的成本价为 2元/件，

则当时，超市每日销售该商品所获得的最大利润为__________元.

四、解答题

4．某学校高二年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对某“著名品牌” 系列进行市场销售量

调研，通过对该品牌的系列一个阶段的调研得知，发现系列每日的销售量（单位：千克）与销售

价格（元/千克）近似满足关系式，其中，为常数.已知销售价格为 6元/

千克时，每日可售出系列 15 千克.

（1）求函数的解析式；

（2）若系列的成本为 4元/千克，试确定销售价格的值，使该商场每日销售系列所获得的利润最大.

5．为了提高某产品的销量，公司计划对该产品投入适当的宣传费用．经调查测算，该产品的销售量 y（单

位：万件）与宣传费用（单位：万元）满足函数关系式，已知每件产品的利润为

（单位：元）．

(1)求该产品的总利 z（单位：万元）关于 x的函数．

(2)求投入宣传费用多少万元时，该产品的总利润最大？最大利润是多少？

6．某工厂共有 10 台机器共同生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平等因素的影响，会产生一

定数量的次品.根据经验知道，每台机器生产的次品数（万件）与每台机器的日产量（万件）之间满足

关系：，已知每生产 1万件合格的元件可盈利 2万元，但每生产 1万件次

品将亏损 1万元.

(1)试将该工厂每天生产这种元件所获得的利润（万元）表示为关于（万件）的函数（利润盈利亏

损）；

(2)当每台机器的日产量（万件）为多少时，获得的利润最大，最大利润为多少?

7．某莲藕种植塘每年的固定成本是 2万元，每年最大规模的种植量是 8万千克，每种植 1万千克莲藕，成

本增加 0.5 万元.种植万千克莲藕的销售额(单位：万元)是(是常数)，若种植 2

万千克莲藕，利润是 1.5 万元，求：

(1)种植万千克莲藕的利润(单位：万元)为的解析式；

(2)要使利润最大，每年需种植多少万千克莲藕，并求出利润的最大值.

8．某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为 30 元，并且每件产品需向总公司缴纳 5元的管理费，

根据多年的管理经验，预计当每件产品的售价为元时，产品一年的销售量为（为自然对数的底数）

万件.已知每件产品的售价为 40 元时，该产品的一年销售量为 500 万件，经物价部门核定每件产品的售价

最低不低于 35 元，最高不超过 41 元.

(1)求的值；

(2)求分公司经营该产品一年的利润（万元）与每件产品的售价（元）的函数关系式；

(3)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润最大，并求出的最大值.

9．石宝寨位于重庆市忠县境内长江北岸边，被称为“江上明珠”，国家AAAA 级旅游景区，全国重点文物

保护单位，长江三峡最佳旅游景观之一，美国探索频道中国七大奇观之一，世界八大奇异建筑之一.近期石

宝寨景区为提高经济效益，拟投入资金对景区经行改造升级，经过市场调查可知，景区门票增收 y（单位：

万元）与投入资金 40）（单位：万元）之间的关系式为：，其中

为常数，当投入资金为10 万元时，门票增收为万元；当投入资金为30 万元时，门票增收

为37 万元.（参考数据，）

(1)求的解析式：

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