《2023年新高考数学之导数专项重难点突破（新高考专用）》专题08 利用导数解决实际问题(解析版)

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专题 08 利用导数解决实际问题
专项突破一 利润问题
一、单选题
1．在“全面脱贫”行动中，某银行向某贫困地区的贫困户提供 10 万元以内的免息贷款，贫困户小李准备
向银行贷款 x万元全部用于农产品土特产的加工与销售，据测算每年利润 y（单位：万元）与贷款 x满足关
系式 ，要使年利润最大，小李应向银行贷款（ ）
A．3万元 B．4万元 C．5万元 D．6万元
【解析】依题意 ，且 ，
，
所以函数 在 ，函数递增；在 ，函数递减.
所以当 万元时，函数取得最大值. 故选：B
二、多选题
2．已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为 10 万元，每生产 1000 件需另投入 2.7 万元.设该公司一
年内生产该品牌服装 x千件并全部销售完，每千件的销售收入为 万元，且
当该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大时，则有（ ）
A．年产量为 9000 件B．年产量为 10000 件
C．年利润最大值为 38 万元 D．年利润最大值为 38.6 万元
【解析】设年利润为 W.当 时， ，
.令 ，得 （舍负），且当 时，
；当 时， ；
所以当 时，年利润 W取得最大值 38.6；
当 时， ， .
令 ，得 （舍负），所以当 时，年利润 W取得最大值 38.
因为 ，所以当年产量为 9000 件时，
该公司在这一品牌服装的生产中，所获得的年利润最大，且年利润最大值为 38.6 万元.故选：AD.
三、填空题
3．某一学习兴趣小组对学校超市某种商品的销售情况进行了调研，通过大量的数据解析，发现该商品每
日的销售量 （百件）与销售价格 （元/件）满足 ，现已知该商品的成本价为 2元/件，
则当 时，超市每日销售该商品所获得的最大利润为__________元.
【解析】设超市每日销售该商品所获得的最大利润为 .
则 ，
故 ，当 时 ;当 时 ，
故 在 单调递增,在 单调递减;
故当 时, 取得最大值 ，
故超市每日销售该商品所获得的最大利润为 500 元.
四、解答题
4．某学校高二年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对某“著名品牌” 系列进行市场销售量
调研，通过对该品牌的 系列一个阶段的调研得知，发现 系列每日的销售量 （单位：千克）与销售
价格 （元/千克）近似满足关系式 ，其中 ， 为常数.已知销售价格为 6元/
千克时，每日可售出 系列 15 千克.
（1）求函数 的解析式；
（2）若 系列的成本为 4元/千克，试确定销售价格 的值，使该商场每日销售 系列所获得的利润最大.
【解析】（1）有题意可知，当 时， ，即 ，解得 ，
所以 .
（2）设该商场每日销售 系列所获得的利润为 ，则
，
，令 ，得 或 （舍去），
所以当 时， 为增函数；
当 时， 为减函数，
故当 时，函数 在区间 内有极大值点，也是最大值点，
即 时函数 取得最大值 .
所以当销售价格为 5元/千克时， 系列每日所获得的利润最大.
5．为了提高某产品的销量，公司计划对该产品投入适当的宣传费用．经调查测算，该产品的销售量 y（单
位：万件）与宣传费用 （单位：万元）满足函数关系式 ，已知每件产品的利润为
（单位：元）．
(1)求该产品的总利 z（单位：万元）关于 x的函数．
(2)求投入宣传费用多少万元时，该产品的总利润最大？最大利润是多少？
【解析】(1)由题可知，
．
(2) ，
因为 ，所以 ，则 在 上单调递减，
故 ．
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