《2023年新高考数学之导数专项重难点突破（新高考专用）》专题04 利用导数求函数的极值(解析版)

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专题 04 利用导数求函数的极值
专项突破一 函数极值(点)的辨析
一、单选题
1．已知函数 ，则（ ）
A． 有极小值，无极大值 B． 有极大值，无极小值
C． 既有极小值又有极大值 D． 无极小值也无极大值
【解析】由题意函数 ，可得 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，
所以当 时，函数取得极大值；当 时，函数取得极小值.故选：C.
2．“ ”是“函数 在 处有极值”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】若函数 在 处有极值，不一定有 ，如 ，在 处无导数，但 是
极小值点；反之，若 ，函数 在 处不一定有极值，如 在 处满足 ，
但 在 处无极值．所以“ ”是“函数 在 处有极值”的既不充分也不必要条件．
故选：D
．
3．关于函数的极值，下列说法正确的是（ ）
A．导数为零的点一定是函数的极值点
B．函数的极小值一定小于它的极大值
C．一个函数在它的定义域内最多只有一个极大值和一个极小值
D．若一个函数在某个区间内有极值，则这个函数在该区间内不是单调函数
【解析】对于 A选项，取 ，则 ， ，当 时， ，
故 不是函数 的极值点，故 A不正确；
极值是函数的局部性质，极大值与极小值之间一般来说没有大小关系，故 B不正确；
一个函数在它的定义域内可能有多个极大值和极小值，故 C不正确；
若一个函数在某个区间内有极值，则这个函数在该区间内不是单调函数，D正确.
故选：D.
4．函数 的极值点的个数是（ ）
A．B．C．D．无数个
【解析】由题， ，故 无极值点，故选：A
二、多选题
5．设函数 的定义域为 ， 是 的极小值点，以下结论一定正确的是（ ）
A． 是 的最小值点 B． 是 的极大值点
C． 是 的极大值点 D． 是 的极大值点
【解析】对 A， 是 的极小值点，不一定是最小值点，故 A错误；
对B，因函数 与函数 的图象关于 x轴对称，故 应是 的极大值点，故 B正确；
对C，因函数 与函数 的图象关于 y轴对称，故 应是 的极小值点，故 C错误；
对D，因函数 与函数 的图象关于原点对称，故 是 的极大值点，故 D正确.
故选：BD.
6．设 ，函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．当 时，函数 没有极大值，有极小值
B．当 时，函数 既有极大值也有极小值
C．当 时，函数 有极大值，没有极小值
D．当 时，函数 没有极值
【解析】 ，
令 ，则
选项 A：当 时， ，则 单调递增
， ，
则可令
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
则函数 没有极大值，有极小值.判断正确；
选项 B：当 时， ，则 单调递增
， ，
则可令
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
则函数 没有极大值，有极小值.判断错误；
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