《2023年新高考数学之导数专项重难点突破（新高考专用）》专题02 利用导数求函数单调区间与单调性(解析版)

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专题 02 利用导数求函数单调区间与单调性
专项突破一 利用导数判断或证明函数单调性
一、多选题
1．若函数 f（x）的导函数在定义域内单调递增，则 f（x）的解析式可以是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】A：由 ，令 ，
因为 ，所以函数 是实数集上的增函数，符合题意；
B：由 ，因为一次函数 是实数集上的增函数，
所以符合题意；
C：由 ，因为函数 是周期函数，所以函数 不是
实数集上的增函数，因此不符合题意；
D：由 ，令 ，
则 ，当 时， 单调递减，因此不符合题意，
故选：AB
二、解答题
2．已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 至少有两个零点，求 a的取值范围．
【解析】(1)由 ，
在 ， 上 ，在 上 ，
所以 在 上递减， 上递增， 上递减.
(2)由（1）知： 极小值为 ，极大值为 ，
要使 至少有两个零点，则 ，可得 .
3．设函数 .
(1)若曲线 在点 处与直线 相切，求 a，b的值；
(2)讨论函数 的单调性.
【解析】(1)由题意知， ，又
即 ，解得 ；
(2)已知 ，令 ，知
当 时， ，此时函数 在 单调递增
当 时，令 或 ，令 ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
当 时，令 或 ，令 ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减.
4．已知函数 ， ．当 时，求证： 在 上单调递增.
【解析】证明：当 时， ， ，
则 ，又 在 上单调递增，且 ，且 （1） ，
，使得 ，
当 时， ，当 ,时， ，
在 上单调递减，在 ,上单调递增， ，
， ， ， ， 在 上单调递增.
5．已知函数 ，讨论 的单调性；
【解析】因为 ，
所以 ，
当 时， ， ， 在 上单调递增．
当 时， ， ，若 ，则 ， 单调递减，若 ，
则 ， 单调递增．
当 时， ，若 ，则 ， 单调递减，若
或 ，则 ， 单调递增．
综上可得，
当 时， 在 上单调递增；
当 时 在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 ， 上单调递增．
6．已知 ，设函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 恒成立，求实数 a的取值范围.
【解析】(1) ， 且 ，
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