《2023年高考数学一轮复习《考点题型技巧》精讲与精练高分突破系列（全国通用）》专题06 解三角形（实际问题）（解析版）

3.0 envi 2025-03-07 17 4 1.09MB 9 页 3知币
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专题 06 解三角形（实际问题）
1.《易经》包含着很多哲理，在信息学、天文学中有广泛的应用，《易经》
的博大精深对今天的几何学和其他学科仍有深刻的影响．如图就是《易经》
中记载的几何图形——八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳
太极图，图中八块面积相等的曲边梯形代表八卦田．已知正八边形的边长为
8 m，代表阴阳太极图的圆的半径为 2 m，则每块八卦田的面积约为(　　)
A．42 m2 B．37 m2
C．32 m2 D．84 m2
【答案】B
【解析】：选 B　由图，正八边形分割成 8 个等腰三角形，顶角为＝45°，设三角形的腰
为 a，由正弦定理可得＝，解得 a＝8sin，所以三角形的面积 S＝ 2sin 45°＝32·＝
16(＋1)，
所以每块八卦田的面积约为：16(＋1)－×π×22≈37 m2.
2、一名学生在河岸上紧靠河边笔直行走，某时刻测得河对岸靠近河边处的参照
物与学生前进方向成 30°角．前进 200 m 后，测得该参照物与前进方向成 75°
角，则河的宽度为(　　)
A．50(＋1)m B．100(＋1)m
C．50 m D．100 m
【答案】A　
【解析】[如图所示，在△ABC 中，∠BAC＝30°，∠ACB＝
75°－30°＝45°，AB＝200 m，由正弦定理，得 BC＝＝
100(m) ， 所 以 河 的 宽 度 为 BCsin 75° ＝ 100× ＝ 50( ＋ 1)
(m)．]
3.一船向正北航行，看见正西方向相距 10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线
上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西 60°，另一灯塔在船的南偏
西 75°，则这艘船的速度是每小时________海里．
【答案】10　
【解析】[如图所示，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，
所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而 CD＝CA＝10，
在 Rt△ABC 中，得 AB＝5，
于是这艘船的速度是＝10(海里/时)．]
4.《海岛算经》是中国学者刘徽编撰的一部测量数学著
作，现有取自其中的一个问题：今有望海岛，立两表，
齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直，从前
表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合，从后表却行一百二
十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合，问岛高几何？其大意为：如图
所示，立两个三丈高的标杆 BC 和 DE，两标杆之间的距离 BD＝1 000 步，两标杆
的底端与海岛的底端 H 在同一直线上，从前面的标杆 B 处后退123 步，人眼贴
地面，从地上 F处仰望岛峰，A，C，F三点共线，从后面的标杆 D 处后退127
步，人眼贴地面，从地上 G处仰望岛峰，A，E，G三点也共线，则海岛的高为
(注：1 步＝6 尺，1 里＝180 丈＝1 800 尺＝300 步)(　　)
A．1 255 步 B．1 250 步
C．1 230 步 D．1 200 步
【答案】A　
【解析】[因为 AH∥BC，所以△BCF∽△HAF，所以＝.
因为 AH∥DE，所以△DEG∽△HAG，所以＝.
又BC＝DE，所以＝，即＝，所以 HB＝30 750 步，
又＝，所以 AH＝＝1 255(步)．故选 A.]
5、海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人
类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海
洋蓝洞．若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A，B 两点间
的距离)，现取两点C，D，测得 CD＝80，∠ADB＝
135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则图中海洋蓝洞的口径为______
__．
【答案】80　
【解析】[由已知得，在△ACD 中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，所以∠DAC＝
15°，由正弦定理得 AC＝＝＝40(＋)．
在△BCD 中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，所以∠DBC＝30°，
由正弦定理＝，
得 BC＝＝＝160sin 15°＝40(－)．
在△ABC 中，由余弦定理，得 AB2＝1 600×(8＋4)＋1 600×(8－4)＋2×1
600×(＋)×(－)×＝1 600×16＋1 600×4＝1 600×20＝32 000，
解得 AB＝80.
故图中海洋蓝洞的口径为 80.]
6、某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的界面如图所示． 为圆孔及
轮廓圆弧所在圆的圆心， 是圆弧与直线 的切点， 是圆弧
与直线 的切点， 四边形 为 矩形， ，垂足为 ，
， ， ， ， 到直 线 和
的距离均为 ，圆孔半径为 ，则图中阴影部分的面积为
．
【答案】
【思路导引】利用求出圆弧所在圆的半径，结合扇形的面积公式求出
扇形 的面积，求出直角 的面积，阴影部分的面积可通过两者的面积之和减
去半个单位圆的面积求得．
【解析】解法一：过作交于 ，交于 ，过作交
于 ，
设 ，由已知可得 ， ，∴，
∴，∴， ， ，
∴， ， ，
又∵ ，∴，解得 ．
∴扇形 面积 ， ，
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