《2023年高考数学一轮复习《考点题型技巧》精讲与精练高分突破系列（全国通用）》专题04 数列与其他知识的应用（解析版）

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专题 04 数列与其他知识的应用

【题型归类】

类型一数列不等式的证明

1已知正项数列的前项和为，且，．

（Ⅰ）求，的值，并写出数列的通项公式；

（Ⅱ）设，数列的前项和为，求证：．

【解析】解：（Ⅰ）解：当时，，即，，，

又，解得，

由，可得，

即，

，，

又，

是首项为 1，公差为 1的等差数列，

；

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得：，

当时，，

将上式对从 1到求和，得，

注意到：，

将上式对从 1到求和，

得，

所以．

经验证，当时，上式也成立．

2.等比数列的前项和为，已知对任意的，点均在函数

且，，均为常数）的图象上．

（1）求的值；

（2）当时，记，证明：对任意的，不等式

成立．

【解析】解：（1）由题意，，当时，，

且，所以时，是以为公比的等比数列，

又，，，即，解得，

的值；

（2）证明：当时，由（1）知，因此，

不等式为

①当时，左式，右式，左式右式，所以结论成立

②假设时结论成立，即，

则当时，

要证当时结论成立，只需证成立，

只需证：成立，显然成立，

当时，成立，

综合①②可知不等式成立．

类型二

3．设数列的前项和为，已知，，．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）证明：对一切正整数，有．

【解析】（Ⅰ）解：，．

①

当时， ②

由① ②，得，

，

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