《2023年高考数学一轮复习《考点题型技巧》精讲与精练高分突破系列（全国通用）》专题04 解三角形（周长问题）（解析版）

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专题 04 解三角形（周长问题）

1.在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，acos B＋bcos A＝2ccos C，c＝，且

△ABC 的面积为，则△ABC 的周长为(　　)

A．1＋ B．2＋

C．4＋ D．5＋

【答案】D

【解析】在△ABC 中，acos B＋bcos A＝2ccos C，

则 sin Acos B＋sin Bcos A＝2sin Ccos C，即 sin(A＋B)＝2sin Ccos C，

∵sin(A＋B)＝sin C≠0，∴cos C＝，∴C＝，

由余弦定理可得，a2＋b2－c2＝ab，

即(a＋b)2－3ab＝c2＝7，

又 S＝absin C＝ab＝，∴ab＝6，

∴(a＋b)2＝7＋3ab＝25，a＋b＝5，

∴△ABC 的周长为 a＋b＋c＝5＋.

2.2020 年 3 月 14 日是全球首个国际圆周率日（ Day）．历史上，求圆周率的方法有多

种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数

充分

大时，计算单位圆的内接正

边形的周长和外切正

边形（各边均与圆相切的正

边

形）的周长，将它们的算术平均数作为

2π

的近似值．按照阿尔·卡西的方法，的近似值

的表达方式是（）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】当时，设圆半径为，内接正六边形边长为，则，∴

．

设外切正六边形边长为，则，∴ ．

当时，，，∴ ，

∴ ，又∵ ，∴ ．

3．在边长为的正三角形 ABC 的边 AB、AC 上分别取 M、N 两点，沿线段 MN 折叠三角形，

使顶点 A 正好落在边 BC 上，则 AM 的长度的最小值为（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

设，在三角形中，利用正弦定理求得的表达式，结合

的取值范围，求得的最小值，也即是的长度的最小值.

【详解】

显然 A，P 两点关于折线 MN 对称，

连接 MP，图（2）中，可得 AM＝PM，则有∠BAP＝∠APM，

设∠BAP＝θ，∠BMP＝∠BAP+∠APM＝2θ，

再设 AM＝MP＝x，则有，

在△ABC 中，∠APB＝180°﹣∠ABP﹣∠BAP＝120°﹣θ，

∴∠BPM＝120°﹣2θ，

又∠MBP＝60°，

在中，由正弦定理知，

即，

∴ ，

∵0°≤θ≤60°，

∴0°≤120°﹣2θ≤120°，

∴当 120°﹣2θ＝90°，即 θ＝15°时，sin（120°﹣2θ）＝1．

此时 x 取得最小值，且∠AME＝75°．

则 AM 的最小值为．

故选：C

【点睛】

本小题主要考查正弦定理解三角形，属于中档题.

4、在锐角△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 cos B＝，b＝4，S△ABC＝4，

则△ABC 的周长为________．

【答案】：4＋4

【解析】：由 cos B＝，得 sin B＝，由三角形面积公式可得 acsin B＝ac·＝4，则 ac＝

12①，由 b2＝a2＋c2－2accos B，可得 16＝a2＋c2－2×12×，则 a2＋c2＝24②，联立①②

可得 a＝c＝2，所以△ABC 的周长为 4＋4.

答案：4＋4

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