《2023年高考数学一轮复习《考点题型技巧》精讲与精练高分突破系列（全国通用）》专题04 不等关系及基本不等式（原卷版）

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专题 04 不等关系及基本不等式

【考点总结】

考点 01 不等式的概念

（1）现实世界与日常生活中，与等量关系一样，不等量关系也是自然界中存在着的基本数

量关系．

（2）用数学符号“ ”“ ”“ ”“ ”连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关

系，含有这些不等号的式子，叫做不等式．

考点 02 两个实数大小的比较

（1）作差法：设 a，bR，则，a<b⇔a−b<0.

（2）作商法：设 a>0，b>0，则 a>b⇔，a<b⇔.

考点 03 不等式的性质

（1）实数的大小顺序与运算性质的关系

①a>b⇔；

② ；

③a<b⇔.

（2）不等式的性质

① 对称性：；(双向性)

② 传递性：a>b，b>c⇒；(单向性)

③ 可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；(双向性)

④a>b，c>d⇒；(单向性)

⑤ 可乘性：；(单向性) a>b，c<0⇒ac<bc；(单向性)

⑥a>b>0，c>d>0⇒；(单向性)

⑦ 乘方法则：；(单向性)

⑧ 开方法则：a>b>0⇒(nN，n≥2)．(单向性)

注意：（1）应用传递性时，若两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，则等号无法

传递.

（2）可乘性中，要特别注意“乘数 c”的符号.

考点 04 必记结论

（1）a>b，ab>0⇒.

（2）a<0<b⇒.

（3）a>b>0,0<c<d⇒.

（4）0<a<x<b或a<x<b<0⇒.

（5）若 a>b>0 ，m>0 ，则； (b−m>0) ；；

(b−m>0)．

考点 05 一元二次不等式的概念

我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2的不等式称为一元二次不等式，

有下列三种形式：

（1）一般式：；

（2）顶点式：；

（3）两根式： .

考点 06 一元二次不等式的解法

由一元二次不等式与相应的方程、函数之间的关系可知,求一元二次不等式的解集的步骤如

下：

（1）变形：将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式，即

或；

（2）计算：求出相应的一元二次方程（）的根，有三种情况：

；

（3）画图：画出对应二次函数的图象的草图；

（4）求解：利用二次函数的图象与 x轴的交点确定一元二次不等式的解集．

考点 07 一元二次不等式恒成立问题

（1）恒成立的充要条件是：且．

（2）恒成立的充要条件是：且．

（3）恒成立的充要条件是：且．

（4）恒成立的充要条件是：且．

（5）恒成立的充要条件是：且或且

．

（6）恒成立的充要条件是：且或且

．

考点 08 分式不等式的解法

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