《2023年高考数学一轮复习《考点题型技巧》精讲与精练高分突破系列（全国通用）》专题03 平面向量的应用（原卷版）

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专题 03 平面向量的应用
【考点总结】
1．向量与平面几何综合问题的解法与步骤：
(1)向量与平面几何综合问题的解法
① 坐标法
把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应
的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．
② 基向量法
适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进
行求解．
【注】用坐标法解题时，建立适当的坐标系是解题的关键，用基向量解题时要选择适当的
基底．
(2)用向量解决平面几何问题的步骤
① 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化
为向量问题；
② 通过向量运算研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
③ 把运算结果“翻译”成几何关系.
2．利用向量求解三角函数问题的一般思路：
(1)求三角函数值，一般利用已知条件将向量关系转化为三角函数关系式．利用同角三角函
数关系式及三角函数中常用公式求解．
(2)求角时通常由向量转化为三角函数问题，先求值再求角．
(3)解决与向量有关的三角函数问题的思想方法是转化与化归的数学思想，即通过向量的相
关运算把问题转化为三角函数问题．
(4)解三角形．利用向量的坐标运算，把向量垂直或共线转化为相应的方程，在三角形中利
用内角和定理或正、余弦定理解决问题.
3．用向量法解决物理问题的步骤如下：
(1)抽象出物理问题中的向量，转化为数学问题；
(2)建立以向量为主体的数学模型；
(3)利用向量的线性运算或数量积运算，求解数学模型；
(4)用数学模型中的数据解释或分析物理问题.
4．常见的向量表示形式：
(1)重心．若点 G是 的重心，则 或
(其中 P为平面内任意一点)．反之，若 ，则点 G是 的重心．
(2)垂心．若 H是 的垂心，则 .反之，若
，则点 H是 的垂心．
(3)内心．若点 I是 的内心，则 .反之，若
，则点 I是 的内心．
(4)外心．若点
O是 的外心，则
或.反之，若
，则点 O是 的外心.
【题型归类】
类型一重心
1．已知△ABC 和点 M满足
MA
→
+MB
→
+MC
→
=0
→
．若存在实数 m使得
AM
→
=m(AB
→
+AC
→
)
成
立，则 m＝（　　）
A．1 B．
1
2
C．
1
3
D．
1
4
【变式】已知点 P是△ABC 所在平面内，且使得|
PA
→
|2+|
|2+|
PC
→
|2取得最小值的点，则
点P是△ABC 的（　　）
A．重心 B．外心 C．垂心 D．内心
类型二内心
O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点 P满足
OP
→=OA
→+λ¿
，则 P
的轨迹一定通过△ABC 的　　心．
【变式】已知 O是△ABC 所在平面上的一点，A、B、C所对的边的分别为 a，b，c，若
a OA
→+b OB
→+c OC
→=0
→
，则 O是△ABC 的（　　）
A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心
类型三外心
设P是△ABC 所在平面内的一点，若
AB
→
⋅(CB
→
+CA
→
)=2AB
→
⋅CP
→
，且
¿AP
→
∨¿∨CP
→
∨¿
．则
点P是△ABC 的（　　）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【变式】设P是 △ ABC 所在平面内的一点，若
AB
→
⋅(CB
→
+CA
→
)=2AB
→
⋅CP
→
且
AB
→2=AC
→2−2BC
→
⋅AP
→
．则点 P是△ABC 的（　　）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
类型四垂心
已知 O为△ABC 所在平面上一点，且
OA
→
2
+BC
→
2
¿OB
→
2
+CA
→
2
¿OC
→
2
+AB
→
2，则 O一定为△ABC
的（　　）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【变式】O是平面上一定点，A，B，C平面上不共线的三个点，动点 P满 足
OP
→
=OA
→
+λ(AB
→
¿AB
→∨cos ∠ABC
+AC
→
¿AC
→∨cos ∠BCA
)
，λ∈R， 则 P的 轨 迹 一 定 通 过
△ABC 的（　　）
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