《2023年高考数学一轮复习《考点题型技巧》精讲与精练高分突破系列（全国通用）》专题03 逻辑用语及充分必要条件（解析版）

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专题 03 逻辑用语及充分必要条件

【考点总结】

考点 01 充分条件、必要条件及充要条件

1．如果 ,则p是q的充分条件;

2．如果 ,则p是q的必要条件;

3．如果既有又有 ,记作 ,则p是q的充要条件.

4.充要条件的两个结论

(1)若p是q的充分不必要条件,q 是r的充分不必要条件,则p是r的充分不必要条件；

(2)若p是q的充分不必要条件,则q是p的充分不必要条件.'

考点 02 四种命题

(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系

【题型归类】

类型一

1.设 a1，a2，…，an∈R，n≥3.若 p：a1，a2，…，an成等比数列；

，则（）

A．p 是 q 的充分条件，但不是 q 的必要条件

B．p 是 q 的必要条件，但不是 q 的充分条件

C．p 是 q 的充分必要条件

D．p 既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件

【答案】A

【解析】

试题分析：对命题 p：a1，a2，…，an成等比数列，则公比

)3(





且an≠0；

对命题 q，①当 an=0 时，

2 2 2 2 2 2 2

1 2 1 2 3 1 2 2 3 1

( )( ) ( )

n n n n

a a a a a a a a a a a a

 

           

成

立；

②当an≠0 时，根据柯西不等式，等式

2 2 2 2 2 2 2

1 2 1 2 3 1 2 2 3 1

( )( ) ( )

n n n n

a a a a a a a a a a a a

 

           

成立，

则

1



，所以 a1，a2，…，an成等比数列，所以 p是q的充分条件，但不是

q的必要条件. 故选 A

【变式 1-1】设，则“ ”是“ ”的

（A）充分而不必要条件

（B）必要而不充分条件

（C）充要条件

（D）既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】：的解集为（1，3），的解集为，

故是的充分不必要条件。

故选：A.

类型二

2.写出命题“已知是实数，若 ab=0，则 a=0 或 b=0”的逆命题，否命题，逆否命题，

并判断其真假。

【解析】

逆命题：已知是实数，若 a=0 或 b=0, 则 ab=0, 真命题；

否命题：已知是实数，若 ab≠0，则 a≠0 且 b≠0，真命题；

逆否命题：已知是实数，若 a≠0 且 b≠0，则 ab≠0，真命题。

【点评】

1.“已知是实数”为命题的大前提，写命题时不应该忽略；

2. 互为逆否命题的两个命题同真假；

3. 注意区分命题的否定和否命题.

【变式 2-1】写出下列命题的否定，并判断真假.

(1)∀x∈R，x2＋x＋1>0；

(2)∀x∈Q， x2＋x＋1 是有理数；

(3)∃α、β∈R，使 sin(α＋β)＝sinα＋sinβ；

(4)∃x，y∈Z，使 3x－2y≠10.

【解析】

(1)的否定是“∃x∈R，x2＋x＋1≤0”.假命题.

(2)的否定是“∃x∈Q，x2＋x＋1 不是有理数”.假命题.

(3)的否定是“∀α，β∈R，使 sin(α＋β)≠sinα＋sinβ”.假命题.

(4)的否定是“∀x，y∈Z，使 3x－2y＝10”.假命题.

专题训练

1. 有下列四个命题：

① 若“xy＝1，则 x，y互为倒数”的逆命题；

②“面积相等的三角形是全等三角形”的否命题；

③“若 m≤1，则 x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；

④“若 A∩B＝B，则 A⊆B”的逆否命题．

其中真命题为(　　)

A．①② B．②③

C．①④ D．①②③

【答案】　D

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