《2023年高考数学一轮复习《考点题型技巧》精讲与精练高分突破系列（全国通用）》专题02 平面向量基本定理与坐标表示（解析版）

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专题 02 平面向量基本定理与坐标表示
【考点总结】
考点 01　平面向量基本定理及坐标表示
1.平面向量的基本定理
如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a， 有
且只有一对实数 λ1，λ2，使 a=λ1e1+λ2e2.其中，不共线的向量 e1，e2叫作表示这一平面内所
有向量的一组基底.
2.平面向量的坐标运算
(1)平面向量的坐标运算
a=（x1，y1） b=（x2，y2）
a+b=(x1+x2，y1+y2) a-b=(x1-x2，y1-y2) λa=(λx1，λy1)
(2)向量的坐标求法
已知 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
⃗
AB
=(x2-x1，y2-y1)，A
|
⃗
AB
|=
❑
√
(x2-x1)2+(y2-y1)2
.
3.平面向量共线的坐标表示
设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中 b≠0，则 a∥b⇔a=λb(λ∈R)⇔x1y2-x2y1=0.
考点 02 平面向量的数量积及坐标运算　
1.平面向量的数量积
(1)概念
已知两个非零向量 a和b,它们的夹角为 θ,我们把数量|a||b|cos θ叫作 a与b的数量积(或内
积),记作 a·b,即a·b=|a||b|cos θ,并规定零向量与任一向量的数量积为 0,即0·a=0.
(2)几何意义
① 向量的投影:a|cos θ(|b|cos θ)叫作向量 a在b方向上(b在a方向上)的投影.
② 向量的数量积:数量积 a·b等于 a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cos θ的乘积.
(3)向量的夹角
已知两个非零向量 a和b,作
⃗
OA
=a,
⃗
OB
=b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫作向量 a与b的夹角.如
果向量 a与b的夹角是 90°,我们说 a与b垂直,记作 a⊥b.
2.平面向量数量积的运算律
已知向量 a,b,c和实数 λ.
① 交换律: a·b=b·a;
② 数乘结合律:(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb) (λ∈R);
③ 分配律:(a+b)·c= a·c+b·c.
3.平面向量数量积的性质
设a,b为两个非零向量,e是与 b同向的单位向量,θ是a与e的夹角.
②e·a=a·e=|a|cos θ.
③a⊥b⇔a·b=0.
④ 当 a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|.
特别地,a·a=|a|2或|a|=
❑
√
a·a
⑤cos θ=
.
⑤|a·b|≤|a||b|.
4.平面向量数量积的有关结论
已知两个非零向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为a与b的夹角.
|a|=
❑
√
x1
2+y1
2
a·b=x1x2+y1y2
a⊥b⇔x1x2+y1y2=0
【题型归类】
类型一
1．在 中， ， ， ， 在边 上，延长 到 ，使
得 ，若 （ 为常数），则 的长度是 ．
【答案】
【解析】由向量系数 为常数，结合等和线性质可知 ，
故 ， ，故 ，故
．
在 中， ；在 中，由正弦定理得 ，
即 ．
【变式 1-1】在 中， 为 边上的中线， 为 的中点，则 　　
A．B．C．D．
【答案】A
【 解 析 】 在 中 ， 为 边 上 的 中 线 ， 为 的 中 点 ， ∴
，故选 ．
【变式 1-2】设D为
?
ABC 所在平面内一点 ，则（ ）
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