《2023年高考数学一轮复习《考点题型技巧》精讲与精练高分突破系列（全国通用）》专题02 函数的单调性与最值（解析版）

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专题 02 函数的单调性与最值
【考点总结】
考点 01 函数的单调性
1．函数的单调性：
增函数 减函数
定义
一般地,设函数 f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I内某个区间 D上的任意两个自
变量的值 x1,x2
当x1<x2时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说函
数f(x)在区间 D上是增函数
当x1<x2时,都有
　
f(x1)>f(x2),那么就说
函数 f(x)在区间 D上是减函数
图像描
述
自左向右看图像是上升的 自左向右看图像是下降的
2.函数单调性的应用，应用函数单调性求解不等式以及判断大小，利用函数的单调性求
参数的范围。
考点 02 函数最值
前提 设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M满足
条件
(1)对于任意 x∈I,都有 f(x)≤M;
(2)存在 x0∈I,使得 f(x0)=M
(1)对于任意 x∈I,都有 f(x)≥M;
(2)存在 x0∈I,使得 f(x0)=M
结论 M为最大值 M为最小值
【题型归类】
类型一
函数 f(x)=
ex+1
ex- 1
,若a=f（-
1
2
）,b=f(ln 2),c=f（
ln 1
3
）,则(
　　
)
A. c>b>a B. b>a>c
C. c>a>b D. b>c>a
【答案】D
【解析】f(x)=
ex+1
ex- 1
=1+
2
ex- 1
,其定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),
易知 f(x)在(-∞,0),(0,+∞)上为减函数,
且当 x<0时,f(x)<0,当x>0时,f(x)>0.
∵ln 2>0,-
1
2
<0,ln
<0,
∴b>0,a<0,c<0.
又-
1
2
=-ln
❑
√
e
,ln
1
3
=-ln 3,
且-ln
❑
√
e
>-ln 3,∴-
1
2
>ln
1
3
.
∵f(x)在(-∞,0)上单调递减,
∴f -
1
2
<f ln
,
即c>a,∴b>c>a.故选 D.
类型二
已知 f(x)=
{
|x-a|+1 , x>1,
ax+a,x ≤1
(a>0且a≠1),若f(x)有最小值,则实数 a的取值范围是 (
　　
)
A.(
2
3
,1) B.(1,+∞)
C.(0,
2
3
]∪(1,+∞) D.(
,1)∪(1,+∞)
【答案】C
【解析】①若 a>1,
则当 x≤1 时,f(x)=ax+a 单调递增,此时 a<f(x)≤2a;
当1<x≤a时,f(x)=a-x+1单调递减,
当x>a 时,f(x)=x-a+1单调递增,
故当 x>1时,f(x)的最小值为 f(a)=1.
若f(x)有最小值,则a>1.
②若0<a<1,
则当 x≤1 时,f(x)=ax+a 单调递减,此时 f(x)≥2a;
当x>1时,f(x)=x-a+1单调递增,此时 f(x)>2-a.
若f(x)有最小值,则2a≤2-a,得0<a≤
2
3
.
综上,实数 a的取值范围是(0,
]∪(1,+∞).
故选 C.
【变式】
设函数 是定义在 上的函数，满足 ，且对任意的 ，恒有
，已知当 时， ，则有（　　）
A．函数 的最大值是 1，最小值是
B．函数 是周期函数，且周期为 2
C．函数 在 上递减，在 上递增
D．当 时，
【答案】AC
【解析】因为函数 满足 ，即 ，
所以函数 是偶函数，
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