《2023年高考数学一轮复习《考点题型技巧》精讲与精练高分突破系列（全国通用）》专题02 等比数列（解析版）

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专题 02 等比数列
【考点总结】
考点 01．等比数列的概念
如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数 ，那么这
个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比．
注意：（1）等比数列的每一项都不可能为 0；
（2）公比是每一项与其前一项的比，前后次序不能颠倒，且公比是一个与 无关的常
数.
考点 02．等比中项
如果在 与 中间插入一个数 ，使 ， ， 成等比数列，那么 叫做 与 的等
比中项，此时 ．
考点 03．等比数列的通项公式及其变形
首项为 ，公比为 的等比数列的通项公式是 ．
等比数列通项公式的变形： ．
考点 04．等比数列与指数函数的关系
等比数列 的通项公式 还可以改写为 ，当 且 时，
是指数函数， 是指数型函数，因此数列 的图象是函数
的图象上一些孤立的点．
当 或 时， 是递增数列；
当 或 时， 是递减数列；
当 时， 为常数列 ；
当 时， 为摆动数列，所有的奇数项（偶数项）同号，奇数项与偶数项异
号．
【题型归类】
类型一
1.已知数列 满足 .
（1）证明： 是等比数列；
（2）求 .
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）由 得： ，
因为 ，
所以 ，
从而由 得 ，
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列.
（2）由（1）得 ，
所以
.
【名师点睛】本题考查了数列中递推公式的应用，通过构造数列证明等比数列，分项求和
等知识点.形如 （ ），在构造数列时，可在等式两边同时加上 构
成等比数列.
（1）利用递推公式可以得到 的表达式，两个式子相减即可得到 与 的表达式；
构造数列{ }，即可证明{ }为等比数列.
（2）利用{ }为等比数列，可求得{ }的通项公式；将{ }分为等比数列和等差数
列两个部分分别求和，再相加即可得出奇数项的和.
类型二
2.各项都是正数的等比数列 中， ， ， 成等差数列，则 的值为
A． B．
C． D． 或
【答案】B
【解析】设 的公比为 q（ ），根据题意可知 ，得
，解得 （负值舍去），而 ，故选 B．
【名师点睛】该题考查的是数列的有关问题，涉及的知识点有：三个数成等差数列的条
件，等比数列的性质等，注意题中的隐含条件.
类型三
3.已知等比数列 的前 n项和为 ，若 ， ，则 _______．
【答案】140
【解析】方法 1：由 ， ，易得公比 ，
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