《2023年高考数学一轮复习《考点题型技巧》精讲与精练高分突破系列（全国通用）》专题01 等差数列（解析版）

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专题 01 等差数列

【考点总结】

考点 01．等差数列的概念

一般地，如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个

数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d表示．即

，为常数．

考点 02．等差中项

如果 a，A，b成等差数列，那么 A叫做 a与b的等差中项，且．

考点 03．等差数列的通项公式及其变形

以为首项，d为公差的等差数列的通项公式为．

公式的变形：，．

考点 04．等差数列与一次函数的关系

由等差数列的通项公式，可得．

令，，则，其中，为常数．

（1）当时，在一次函数的图象上，数列的图象是直线

上均匀分布的一群孤立的点，且当时数列为递增数列，当时

数列为递减数列．

（2）当时，，等差数列为常数列，数列的图象是平行于 x轴的直线（或

x轴）上均匀分布的一群孤立的点．

考点 05．等差数列的常用性质

由等差数列的定义可得公差为的等差数列具有如下性质：

（1）通项公式的推广：，．

（2）若，则

am+an=ap+aq

．

特别地，①若，则；

②若，则．

③有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，都等于首末两项的和，即

（3）下标成等差数列的项组成以 md 为公差的等差数列．

（4）数列是常数是公差为 td 的等差数列．

（5）若数列为等差数列，则数列是常数仍为等差数列．

（6）若，则．

考点 06．与等差数列各项的和有关的性质

利用等差数列的通项公式及前 n项和公式易得等差数列的前 n项和具有如下性质：

设等差数列（公差为 d）和的前 n项和分别为，

（1）数列是等差数列，首项为，公差为．

（2）构成公差为的等差数列．

（3）若数列共有项，则，．

（4）若数列共有项，则，

．

（5），．

【题型归类】

类型一等差数列的证明

1.已知数列的前项和为 .

（1）若为等差数列，求证：；

（2）若，求证：为等差数列.

【解析】（1）已知数列为等差数列，设其公差为，有，

则，

于是，①

又，②

由①②相加得，即 .

（2）由，得当时，，

所以，③

，④

④－③并整理，得，即，

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