《2023届高考数学一轮复习解题技巧方法》第五章 第8节 不动点法与特征根法求通项-解析版

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第8节 不动点法与特征根法求通项
知识与方法
1.不动点的概念：对于函数 ，我们称方程 的根为函数 的不动点.
2.不动点法：当我们遇到 ，且 是一个关于 的多项式（或分式多项
式）这种类型的递推公式时，可以采用不动点法来求 ，常见的题型有 2类 ：
型， 型.
（1） 型：（例题请参考例 1）
第一步，构造函数 ，并令 ，求出 的不动点；
第二步，在递推公式 两端同时减去 ，化简使得左右两侧结构一致；
第三步，构造数列求通项.
（2） 型：（三种情况的例题分别为后续的例 2、例 3、例 4）
第一步，构造函数 ，并令 ，求出 的不动点；
第二步，若 有 2个不动点，则用 两端分别减去两个不动点，得到两
个式子，两式相除可以产生优良结构，进而构造数列求通项；若 只有 1个不动点，则
用 两端减去该不动点，再取倒数，化简可以产生优良结构，进而构造数列求
通项；若 没有不动点，则在考题中， 往往是周期较小的周期数列，直接根据首
项和递推公式 求出前几项找规律即可.
3.特征根法：当我们遇到 这种类型的二阶线性递推公式时，可以用特
征根法来求通项.（两种情况的例题请参考后续的例 5和例 6）
第一步，构造特征方程 ，并求出特征方程的根；
第二步，若上一步的特征方程有 2个不同的实根 和 ，则 ，再利用
和 来求出系数 A和B；若上一步的特征方程有 2个相同的实根 ，则 ，
再利用 和 来求出系数 A和B.
典型例题
【例 1】已知数列 满足 ， ，则 _______.
【解析】第一步，求不动点，设 ，令 得： ，所以 ；
第二步，减不动点， ，所以 ，此时发现左右两
侧结构一致了；
第三步，构造数列求通项，因为 ，所以 是首项为 3，公比为 2的等比数列，
从而 ，故 .
【答案】
【例 2】已知数列 满足 ， ，则 _______.
【解析】第一步，求不动点，设 ，令 得： ，解得： ，
第二步，减不动点， ，化简得： ①，
，化简得： ②，
用式①除以式②可得 ，
又 ，所以 ，故
【答案】
【例 3】已知数列 满足 ， ，则 _______.
【解析】第一步，求不动点，设 ，令 得： ，解得： ；
第二步，减不动点， ，化简得， ，所以
，从而 ，故 ，
又 ，所以 是首项和公差均为 的等差数列，从而
，故 .
【答案】
【例 4】已知数列 满足 ， ，则 _______.
【解 析 】第一步，求不动点，设 ，令 得： ，化简得：
，显然该方程无解，这种情况下 一般是周期不大的周期数列，我们只需
算出前几项，找出规律即可，由题意， ，所以 ， ，
， ， ， ，从而 是以
6为周期的周期数列，故 .
【答案】2
【例 5】已知数列 中， ， ，且 ，则 _______.
【解析】特征方程为 ，解得： 或 3，所以可设 ，
因为 ， ，所以 ，解得： ， ，
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