《2023届高考数学一轮复习解题技巧方法》第五章 第2节 等差、等比数列基本性质-解析版

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第2节 等差、等比数列基本性质
知识与方法
1．在等差数列 中，设 m、n、r、s为正整数，若 ，则 ；
特别地，若 ，则 ，这是等差数列的常用基本性质，这一性质可以推
广 到 项 数 更 多 的 情 形 ， 例 如 ， 设 p、q也 是 正 整 数 ， 且 ， 则
.在等差数列 中，像“ ”这样的
等式，只要满足左右两侧项数相同，且所有项的下标之和相等，则该等式一定成立.
2．等差数列 的前 n项和为 ，则 .
3．在等比数列 中，设 m、n、r、s为正整数，且 ，则 ，
特别地，若 ，则 ，这是等比数列的常用基本性质，这一性质可以推广
到项数更多的情形，例如，设 u、v也是正整数，且 ，则 .
在等比数列 中，像“ ”这样的等式，只要满足左右两侧项数相同，
且所有项的下标之和相等，则该等式一定成立.
典型例题
【例 1】在等差数列 中，已知 ，则该数列的前 11 项和 （ ）
A.33 B.44 C.55 D.66
【解 析 】解法 1： ， 所 以
.
解法 2： ，所以 .
解法 3：本题属单条件等差数列问题，可设 ，则由 可得 ，
解得： ，所以 .
【答案】A
变式 1 在等差数列 中，已知 ，则该数列的前 10 项和 _______.
【解析】解法 1： ，
所以 .
解法 2： ，所以 .
解法 3：本题属单条件等差数列问题，可设 ，则由 可得 ，
解得： ，所以 .
【答案】30
【反思】在等差数列的小题中运用性质计算时，可以允许下标出现分数，结果不会出现，
但大题之中不能这么写.
变式 2 等差数列 的前 n项和为 ，已知 ， ，则 _______.
【解 析 】 解 法 1： 由 题 意 ， ， 解 得 ： ， ， 所 以
.
解法 2： ，所以 ，故 ，从
而.
【答案】
变式 3 若两个等差数列 和 的前 n项和分别是 、 ，已知 ，则 __
_____.
【解析】.
【答案】
【例 2】等比数列 中， ，则 等于（ ）
A.4 B.8 C.16 D.32
【解析】.
【答案】C
变式 1 已知数列 1、 、 、9是等差数列，数列 1、 、 、 、9是等比数列，则
________.
【解 析 】由题意， ， ，又 ，所以
，故 .
【答案】
变 式 2 （2014· 广东）若正项等比数列 满足 ，则
________.
【解析】由题意， ，
所以 .
【答案】50
强化训练
1.（★★）设 是公差 的等差数列 的前 n项和，若 ，则 （ ）
A.15 B.17 C.19 D.21
【解析】解法 1： ，
所以 .
解法 2： ，所以 .
【答案】A
2.（★★）记 为等差数列 的前 n项和，若 ， ，则 的公差为
（ ）A.l B.2 C.4 D.8
【解析】 ， ，所以 .
【答案】C
3.（★★）在正项等比数列 中， ，则 的值是（ ）
A.10000 B.1000 C.100 D.10
【解析】.
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