《2023届高考数学一轮复习解题技巧方法》第五章 第1节 特值法速解单条件等差、等比数列求值问题-解析版

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第五章 数列
第1节 特值法速解单条件等差、等比数列求值问题
知识与方法
当等差（等比）数列求值问题中只给出了一个条件，我们无法将 、d（或 q）都求出，
此时可以大胆假设 （或 ），将数列假设为常数数列，代入问题进行计算，可以
快速得出答案，但一定要注意检验和已知条件是否冲突，不是每一道这类题都可以用特值
法.
典型例题
【例 1】设等差数列 的前 n项和为 ，若 ，则 ______.
【解 析 】解法 1： ， 所 以
.
解法 2：本题只有 这一个条件，无法将 和 d都求出来，所以不妨假设 是常数
数 列 ， 此 时 可 设 ， 则 由 题 意 ， ， 解 得 ： ， 所 以 ， 故
.
【答案】18
【反思】上面的解法 2本质上就是特值法的思想，相当于假设了 .
变式 1 在等差数列 中，已知 ，则 的前 7项和 ______
【解析】解法 1：
，
所以 .
解法 2：本题只有 这一条件，可以假设 ，则 ，解得： ，
所以 .
【答案】21
变式 2 设等差数列 的前 n项和为 ，若 ，则 ______.
【解析】解法 1：因为 ，所以 ，故 ，即 ，从
而.
解法 2：本题只有 这一个条件，可以假设 ，则 ，所以 ，故
.
【答案】15
变式 3 （2015·新课标 II 卷）设 为等差数列 的前 n项和，若 ，则
（ ）
A.5 B.7 C.9 D.11
【解析】解法 1：由题意， ，所以
解法 2：本题只有 这一条件，所以可设 ，则 ，故
，.
【答案】A
【例 2】已知正项等比数列 中， ，则 _
_____.
【解析】解法 1：由题意，
.
解法 2：本题的正项等比数列 只有 这一个条件，可以假设 是常数数列，即
，此时， .
【答案】5
变式 1 正项等比数列 中，若 ，则 ____
__.
【解析】解法 1：
.
解法 2：本题只有一个条件，可以假设 是常数数列，设 ，
则 ，解得： ，所以 .
【答案】2
变式 2 已知正项等比数列 满足 ，则 ______.
【解析】解法 1：由题意， ，又 ，
所以 .
解法 2：本题只有一个条件，可以假设 是常数数列，设 ，
则 ，所以 ，从而 .
【答案】4
变式 3 在等比数列 中， ，则 ______.
【解析】在 两端同时除以 可得 ，解得： 或 1，
所以 或 1.
【答案】8或1
【反思】本题是本节技巧的一个反例，因为不难发现，如果本题假设 是常数数列，会
漏掉 这种情况，所以技巧失效了.
强化训练
l.（★★）设 为等差数列 的前 n项和，若 ，则 ______.
【解析】解法 1：由题意， ，
所以 .
解法 2：由题意，不妨设 ，则 ，所以 ，故 .
【答案】9
2.（★★）已知 是等差数列，若 ，则 ______.
【解析】解法 1：由题意，
，
所以 .
解 法 2： 由 题 意 ， 不 妨 设 ， 则 ， 所 以 ， 故
.
【答案】4
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