《2023届高考数学一轮复习解题技巧方法》第四章 第8节 三角形的“四心”及其向量性质-解析版

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第8节 三角形的“四心”及其向量性质
知识与方法
1.【重心的概念及向量性质】如图 1所示，G为 的重心，则：
（1）概念：三边中线的交点，即图 1中D、E、F分别为所在边的中点；
（2）重心分中线的比例性质： ；
（3） 坐 标 ： 设 ， ， ， 则 的 重 心 G的 坐 标 为
；
（4） ，其中 ；
（5）与奔驰定理结合：设 G为 的重心，则 .
2.【外心的概念及向量性质】如图 2所示，O为 的外心，则：
（1）概念：外接圆的圆心，三角形的三边的中垂线的交点， ；
（2） ；
（3）与奔驰定理结合：若 是锐角或直角三角形，
则.
3.【内心的概念及向量性质】如图 3所示，I为 的内心，则：
（1）概念：内切圆的圆心，三角形的三个内角的角平分线的交点；
（2） ，其中 ；
（3）与奔驰定理结合：
4.【垂心的概念及向量性质】如图 4所示，H为 的垂心，则：
（1）概念：三角形的三边上的高的交点；
（2）若 不是直角三角形，则
（3） ；
（4）与奔驰定理结合：若 不是直角三角形，
则.
提醒：三角形“四心”的结论较多，我们在学习的时候，最好能抓住各心的规律，例
如，心的关键特征是 1:1:1，内心需重点关注 ，外心则抓住点乘和投影，而垂心往往
要分析余弦投影.
典型例题
【例 1】已知点 O是 所在平面内的一点，且 ，则 O一定是
的（ ）
A.重心 B.外心 C.内心 D.垂心
【解析】如图， ，
设D为 的中点，则 ，
由重心分中线比例性质知 ，
所以 O为 的重心.
【答案】A
变 式 1 已 知 O、A、B、C是平面上的 4个定点，A、B、C不共线，若点 P满 足
，其中 ，则点 P的轨迹一定经过 的（ ）
A.重心 B.外心 C.内心 D.垂心
【解析】 ，
当 时， ，P为 的重心，所以点 P的轨迹一定经过 的重
心.
【答案】A
变式 2 已知 O是平面上的一个定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点 P满足
，则点 P的轨迹一定经过 的（ ）
A.重心 B.外心 C.内心 D.垂心
【解析】由正弦定理， ，所以 ，从而 ，
设 ，则 ，
所以 ，
设D为 中点，如图，则 ，
显然 ，又 ，所以 ，
故点 P的轨迹是射线 ，而射线 必定经过 的重心，故选 A.
【答案】A
【例 2】已知 O是平面上的一个定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点 P满足
，则点 P的轨迹一定经过 的（ ）
A.重心 B.外心 C.内心 D.垂心
【解 析 】 ，
故选 C.
【答案】C
【例 3】设 G为 的重心，若 ， ， ，则 _______
【解析】解法 1：不难发现， 是以 B为直角顶点的直角三角形，如图，
因为 G为 的重心，所以 ，故 ，又 ，
所以 ，设 D、E分别为 、 的中点，则
， ，由重心分中线的比例性质， ，
，从而 .
解法 2：如图，D、E、F分别为所在边的中点，作 于 K，则 ，所以
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