《2023届高考数学一轮复习解题技巧方法》第四章 第6节 极化恒等式-原卷版

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第6节 极化恒等式
知识与方法
1. 平行四边形性质：如下图所示，在平行四边形 中，
.
2.极化恒等式的平行四边形模式：在平行四边形 中， .
3.极化恒等式的三角形模式： ，其中 E为 中点.
提醒：极化恒等式主要用于解决数量积计算问题，利用极化恒等式，关键是取中点，
巧妙之处是可将本身需要夹角才能计算的数量积转化为只需长度即可计算的量.
典型例题
【例 1】（2012·浙江）在 中，M是 中点， ， ，则 ____
___.
【例 2】（2017·新课标Ⅱ卷）已知 是边长为 2的等边三角形，P为平面 内一点，
则 的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【例 3】正三角形 内接于半径为 2的圆 O，E为线段 上一动点，延长 交圆 O于
点F，则 的取值范围为_______.
【例 4】正方形 的边长为 2，以 A为圆心，1为半径作圆与 、 分别交于 E、F
于两点，若 P为劣弧 上的动点，则 的最小值为_______.
强化训练
1.（★★★）在平行四边形 中， ， ，则 _______.
2.（★★★）设 M、N是 上的两个动点，且 ，则 的最小值
为（ ）
A.1 B.2 C. D.
3.（2016·江苏·★★★★）在 中，D是 中点，E、F是 上两个三等分点，
， ，则 的值是_______.
4.（★★★）在 中， ， ， ，D在边 上运动，则 的
最小值为________.
5.（★★★）已知 是圆 O的直径， ，C是圆 O上异于 A、B的一点，P是圆 O
所在平面内的任意一点，则 的最小值是________.
6，（★★★）在半径为 1的扇形 中， ，C为弧 上的动点， 与
交于点 P，则 的最小值为_______.
7.（★★★）若 O和F分别 是椭圆 的中心和左焦点， P为椭圆上一点，则
的最大值是（ ）
A.2 B.3 C.6 D.8
8.（★★★）如下图所示，正方形 的边长为 4， 为半圆 O的直径，P为半圆圆弧
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