《2023届高考数学一轮复习解题技巧方法》第四章 第6节 极化恒等式-解析版

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第6节 极化恒等式
知识与方法
1. 平行四边形性质：如下图所示，在平行四边形 中，
.
2.极化恒等式的平行四边形模式：在平行四边形 中， .
3.极化恒等式的三角形模式： ，其中 E为 中点.
提醒：极化恒等式主要用于解决数量积计算问题，利用极化恒等式，关键是取中点，
巧妙之处是可将本身需要夹角才能计算的数量积转化为只需长度即可计算的量.
典型例题
【例 1】（2012·浙江）在 中，M是 中点， ， ，则 ____
___.
【解析】解法 1： ，
.
解法 2：由极化恒等式， .
【答案】
【例 2】（2017·新课标Ⅱ卷）已知 是边长为 2的等边三角形，P为平面 内一点，
则 的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【解析】解法 1：如图，设 中点为 D，则 ，
，所以当 ，即点 P与点
重合时， 取得最小值 .
解法 2：建立如图所示的坐标系，设 ，则 ， ， ，
所以 ， ， ， ，
故 ，
所以当 时， 取得最小值 .
【答案】B
【例 3】正三角形 内接于半径为 2的圆 O，E为线段 上一动点，延长 交圆 O于
点F，则 的取值范围为_______.
【解 析 】解法 1：建立如图 1所示的平面直角坐标系，则可设
，
圆的半径为 ，故 ， ，
所以 ， ，
从而 .
解法 2：如图 2，设 中点为 D，圆的半径为 ，
由极化恒等式， ，由图可知当 F与点 B重合时， 取得最
小值 ，当点 F与点 C重合时， 取得最大值 3，所以 .
【答案】
【例 4】正方形 的边长为 2，以 A为圆心，1为半径作圆与 、 分别交于 E、F
于两点，若 P为劣弧 上的动点，则 的最小值为_______.
【解析】解法 1：建立如图所示的平面直角坐标系，则 ， ，设
，则 ， ，
所以 ，
其中 为某确定的锐角， ，
故当 时， 取得最小值为 .
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