《2023届高考数学一轮复习解题技巧方法》第四章 第4节 数量积的投影分析方法-解析版

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第4节 数量积的投影分析方法
知识与方法
如下图所示， 向量 b在向量 a方向上的投影，利用投影法可以
快速求解一些数量积问题.
典型例题
【例题】已知 A、B是圆 上的两个动点， ，点 C满足 ，若 M
为 中点，则 的值为（ ）
A.3 B. C.2 D.
【解析】如图，因为 M为 中点，所以 ，由 知 A、B
、
C三点共线，
所以 ，
因为 ，所以 ，
故 ，从而 .
【答案】A
变式 1 已知 A、B是圆 上的两个动点， ， ，若 M是
线段 的中点，则 的值为（ ）
A.3 B. C.2 D.
【解析】解法 1（基底法）：由题意， ，又 ，所以 为正三角形，
因为 M是线段 的中点，所以 ，
从而
解法 2（坐标法）：不妨设点 A和点 B位于图 1中所示的关于 y轴对称的位置，
因为 ， ，所以 ， ， ，
故 ， ， ， ，
所以 .
解法 3（投影法）：如图 2所示，由 知 A、B、C三点共线，
所以 ，因为 是 中点，所以
，故 ，易求得 ，从而 .
【答案】A
【反思】设 O为直线 外一点，且 ，则 A、B、C三点共线的充要条件
是.
变式 2 已知 A、B是圆 上的两个动点， ， ，若 M是线
段 的中点，则 的值为________.
【解 析 】解法 1：由 知 为正三角形，因为 M是线段 的中点，所以
，
故
.
解法 2：不妨设点 A和点 B位于如图所示的关于 y轴对称的位置，
则 ， ， ，
故 ， ， ， ，
所以 .
【答案】6
【反思】本题由于 用 和 表示的系数和不为 1，不满足 A、B、C三点共线，故而
不便运用投影法计算数量积.
变式 3 已知 A、B是圆 上的两个动点，P、Q是直线 上的两个
动点，且 ，M是线段 的中点，则 的取值范围是________.
【解析】解法 1：M是线段 的中点 点 M
的轨迹是圆 ，
如图，不妨设 ，设 ，
则 ，
所以 的取值范围是 .
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