《2023届高考数学一轮复习解题技巧方法》第四章 第3节 向量最值问题中的三角方法-解析版

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第3节 向量最值问题中的三角方法
知识与方法
平面向量问题中，若涉及动点在圆或椭圆上运动，可以根据圆或椭圆的参数方程，将
动点坐标设为三角的形式，用三角形式的坐标运算来处理向量的问题，非常方便.
典型例题
【例题】已知 A为圆 上的动点， ，则 的最大值为_______.
【解 析 】 设 ， 则 ， ， 所 以
，故 的最大值为 2.
【答案】2
【反思】当动点 P在圆 上运动时，可设 .
变式 1 已知点 ， ，P是曲线 上的动点，则 的取值范围为_
______.
【解析】 ，故可设 ，则 ，
，所以 .
【答案】
变式 2 已知点 ， ，P是曲线 上的动点，则 的取值范围为
_______.
【解析】 ，故可设 ，则 ，
，所以 ，其中 ，
， ，因为 ，所以 ，
故当 时， 取最小值 3，
当 时， 取最大值 ，所以 的取值范围为 .
【答案】
变式 3 已知点 ， ，P是曲线 上的动点，则 的取值范
围为_______.
【解析】 ，故可设 ，则 ，
，所以 ，其中
， ， ， 因 为 ， 所 以
时， 取最小值 ，当 时，
取最大值 ，所以 的取值范围为
【答案】
变式 4 在平面直角坐标系 中，点 P在曲线 上运动，点 ，
，则 的取值范围为_______.
【解 析 】 ，故可设
，则 ， ，
所 以 ， 其 中 ， ，
， ， ， 所 以
的最小值 2，最大值为 ，所以 .
【答案】
变式 5 在平面直角坐标系 中，点 P在曲线 上，曲线 C与y轴相
交于点 A，点 和点 满足 ，则 的最小值为__
_____.
【解析】设 ，由题意， ， ， ，
，
设 ，则 ，
所以 在 上 ，从而 ，故 的最小值为 .
【答案】
【 反 思 】 当 动 点 P在 椭 圆 上 运 动 时 ， 可 将 其 坐 标 设 为
.
强化训练
1.（★★★）已知 O为坐标原点， ，点 A在圆 上运动，则 的
取值范围为_______.
【解析】设 ，则 ，
所以
.
【答案】
2.（★★★★）已知点 ， ，P是曲线 上的动点，则 的取
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