《2023届高考数学一轮复习解题技巧方法》第三章 第5节 三角形最值问题经典模型-解析版

3.0 envi 2025-03-07 18 4 922.22KB 13 页 3知币
侵权投诉
第5节 三角形最值问题经典模型：已知一角及对边
知识与方法
已知一角及其对边，求其它量的最值，这类问题的解题方法通常有三种：
解法 1：利用正弦定理进行边化角，将目标量表示成内角的三角函数，借助三角函数
求最值.
解法 2：对已知的角用余弦定理，结合基本不等式及其相关推论求最值.
解法 3：利用模型的几何背景，数形结合求最值.
典型例题
【例题】在 中，内角 A、B、C的对边分别为 a、b、c，已知 ， ，求
的面积的取值范围.
【解析】解法 1：由正弦定理， ，故 ， ，
又 ，所以 ，故 ，
从而
，
因为 ，所以 ，从而 ，故 的取值
范围为 .
解法 2：由余弦定理， ，
当且仅当 时等号成立，所以 的最大值为 4，又 ，所以 的取值范围是 ，
而 ，所以 的面积的取值范围为 .
解法 3：记 的外接圆为圆 O，设其半径为 r，
如图，B、C两点在圆周上固定不动，满足 ，点 A在 所对的优弧上运动，
，
由正弦定理， ，所以圆 O的半径 ，所以 的外接圆是一个定
圆，以 作为 的底边，设 边上的高为 ，则 ，
由图可知当点 A运动到 处时，h最大，
且此时 为正三角形，所以 ，
所以 h的取值范围为 ，从而 的面积取值范围为 .
【反思】若将题干的 改为锐角 ，解题过程会有什么变化呢?.
变式 1 在 中，内角 A、B、C的对边分别为 a、b、c，已知 ， ，求
的周长的取值范围.
【解析】
解法 1：由正弦定理， ，故 ， ，
又 ，所以 ，故 ，
所以 的周长
，
因为 ，所以 ，故 ，所以 ，从而
L的取值范围是 .
解法 2：一方面， ，所以 ；
另一方面，由余弦定理， ，
所以 ，故 ，
当且仅当 时等号成立，所以 ，从而 周长的取值范围为 .
【反思】①若将题干的 改为锐角 ，解题过程会有什么变化呢?去看看视频吧；
②在已知一角及其对边这一模型中，三角形的面积和周长都会在该三角形为等腰三角形时
取得最大值.
变式 2 在 中，已知 ， ，则 的最大值为______.
【解析】如图，在 中， 即为 边上的高，画出图形如图，由图可知，当 A
位于图中 处时， 边上的高最大，即 最大，此时， 为正三角形，可求得
.
注：本题也可以按照前面提到的另外两个解法来做，但小题之中，通过图形求解是最快的.
【答案】
变式 3 在 中，已知 ， ，则边 上的中线的取值范围为_______.
【解析】如图，在 中，当 A位于图中 处时，边 上的中线 最长，为 ，当
A向B或C靠近时，中线 逐步变短，故边 上的中线 的取值范围为 .
【答案】
【反思】已知一角及其对边这一模型中，三角形的面积、周长、已知的边上的高、已知的
边上中线长这些量的最大值均在另外两边相等时取得，可以在理解的基础上记忆这一结论
便于速解一些小题.
《2023届高考数学一轮复习解题技巧方法》第三章 第5节 三角形最值问题经典模型-解析版.docx

共13页,预览4页

还剩页未读， 继续阅读

相关推荐

更多
立即下载
作者：envi 分类：高中 价格：3知币 属性：13 页 大小：922.22KB 格式：DOCX 时间：2025-03-07

开通VIP享超值会员特权

  • 多端同步记录
  • 高速下载文档
  • 免费文档工具
  • 分享文档赚钱
  • 每日登录抽奖
  • 优质衍生服务

作者详情

相关内容

更多

推荐作者

热门标签

大联考 高考地理 英语真题 听力 语法填空 石家庄 数学竞赛 读后续写 英语阅读 深圳中学
/ 13
评分 收藏
分享
立即下载
客服
关注