《2023届高考数学一轮复习解题技巧方法》第三章 第3节 角平分线性质定理与张角定理-解析版

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第3节 角平分线性质定理与张角定理
知识与方法
1.角平分线性质定理：如图 1所示， 是 的平分线，则 .
2.张角定理：如图 2所示，D为边 上一点，则 .特别地，
若 恰好为 的平分线，则 .
提醒：小题中这些性质可以直接用，大题可以先证明再用.
典型例题
【 例 1】 在 中 ， 角 A、B、C的 对 边 分 别 为 a、b、c， 已 知 ， ，
， 的角平分线交边 于点 D，则 ______.
【解析】解法 1：如图，由余弦定理， ，所以 ，
由角平分线性质定理， ，所以 ，从而 ，
，设 ，由图可知 ，
所以 ，
从而 ，解得： ，即 .
解法 2：如图，由余弦定理， ，所以 ，
由角平分线性质定理， ，所以 ，从而 ，
，
设 ，由 Stewart 公式， ，
解得： ，即 .
解法 3：如图，由角平分线性质定理， ，
所以 ，从而 ，
所以 ，故 .
解法 4：由张角定理， ，即 ，解得： .
【答案】
变式 1 在 中，角 A、B、C的对边分别为 a、b、c，已知 ， ， 的角
平分线交边 于点 D，且 ，则 ______.
【解析】解法 1：如图，由角平分线性质定理， ，即 ，设
则 ，
由 图 可 知 ， 所 以 ， 即
，
解得： ，所以 ，故 .
解 法 2：如图，由角平分线性质定理， ，即 ，设 ，则
，
由Stewart 公式， ，解得： ，所以 ，
故.
解 法 3： 如 图 ， 由 角 平 分 线 性 质 定 理 ， ， 即 ， 所 以
，故 ，
从而 ，解得： .
解法 4：由张角定理， ，
所以 .
【答案】
变式 2 在 中，角 A、B、C的对边分别为 a、b、c，已知 ， ，点 D在
上， 是 的平分线，则 的取值范围为______.
【解析】解法 1：由角平分线性质定理， ，所以 ，设 ，
，则 ，由 得： ，由图可知 ，
所以 ，即 ，化简得：
，因为 ，所以 .
解法 2：由角平分线性质定理， ，所以 ，故 ，
设 ，
则 ，
因为 ，所以 ，故 .
解法 3：设 ，由张角定理， ，
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