《2023届高考数学一轮复习解题技巧方法》第七章 第7节 阿氏圆-解析版

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第7节 阿氏圆
知识与方法
1.阿氏圆：设 A、B是平面上的两个定点，若平面内的动点 P满足 （ 且
），则点 P的轨迹是圆，该圆叫做阿氏圆.
2．考题中常用的阿氏圆性质：
（1）圆心位置：当 时，圆心 M在 的延长线上；当 时，圆心 M在
的延长线上.
（2）半径公式： ，其中 d为两定点 A、B之间的距离.
（3）找定点：如右图所示，设圆 M的半径为 r，对于圆 M外任意一点 A，连接 交
圆M于点 N，则在线段 上必定存在点 B，使得对于圆 M上任意一点 P，都有 ，
可以根据 找到点 B，根据 求出 .
典型例题
【例题】已知两个定点 ， ，若动点 C满足 ，则点 C的轨迹方程
为______.
【解析】设 ，因为 ，所以 ，化简得：
【答案】
变式 1 已知圆 ，点 ，若 x轴上的定点 B满足对圆 M上的任意
一点 C，都有 恒成立，其中 为常数，则点 B的坐标为______，常数______.
【解析】设 ， ，则 ，所以 ，
故 ，
要使 为定值，应有 ，
解得： 或 （舍去），所以点 B的坐标为 ，
此时 ，即 .
解法 2：如图，由阿氏图性质，点 B在 的延长线上，且 ，所以 ，
故 ，显然 ，从而点 B的坐标为 ， .
【答案】 ，
变式 2 在 中， ， ，则 的面积的最大值为______.
【解析】解法 1：设 ， ， ，则 ， ，
由余弦定理， ，
所以
，
所以当 时， 的面积取得最大值 12.
解法 2：以 中点 O为原点建立如图 1所示的平面直角坐标系，
则 ， ，设 ，
因为 ，所以 ，化简得：
所以点 C的轨迹是以 为圆心，4为半径的圆（不含与 x轴的交点)，如图 1，
由图可知， .
解法 3：由 可知点 C的轨迹是阿氏圆，设圆心为 M，半径为 r，如图 2，
由阿氏圆性质， ，结合图形可得 .
【答案】12
变式 3 在平面直角坐标系中，已知点 ， ，C为圆 上的动
点，则 的最小值为______.
【解析】先根据阿氏圆性质，找到与点 对应的圆 M内的定点 A，
由 可得
所以 ，且对于圆 M上的任意一点 C，
都有 ，从而
所以 ，如图，
由图可知当点 C在圆 M上运动到如图所示位置时， 取得最小值，
且最小值为 ，所以 的最小值为 10.
【答案】10
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