《2023届高考数学一轮复习解题技巧方法》第七章 第6节 隐形圆-解析版

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第6节 隐形圆
知识与方法
在解析几何问题中，若题干中某个动点的轨迹是圆，这类问题我们称之为隐形圆问题，
解题的关键是发现隐形圆，运用圆的性质来求解答案.本专题后续内容将详细归纳隐形圆常
见的几类题型.
典型例题
【例 1】若圆 上存在点 P，使得 P点到原点的距离为 3，则实数 a
的取值范围为________.
【 解 析 】 问 题 等 价 于 圆 与 圆 有 交 点 ， 所 以
，易求得 ，所以 ，解得：
或.
【答案】
【例 2】已知圆 和两点 、 ，若圆上存在点 P，使 得
，则正实数 m的取值范围为______.
【解析】 点 P的轨迹方程是圆 ，问题等价于圆 O与圆 C有交
点，所以 ，从而 ，结合 可解得： .
【答案】
【反思】设 A、B为两个定点，则由 或 所确定的点 P的轨迹是圆.
【例 3】在平面直角坐标系 中，已知点 和 ，若直线 上存在
点P使 ，则实数 a的取值范围为______.
【解析】设 ，则由|可得 ，化简得：
，所以问题等价于直线 与圆 有交点，故
，
解得： .
【答案】
【反思】若动点 P满足 ，其中 A、B是两个定点，则点 P的轨迹是圆.
变式 在 中，内角 A、B、C的对边分别为 a、b、c，若 ， ，则 的
面积的最大值为______.
【解析】以 中点 O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，则 ， ，设
,
因为 ，所以 ，故 ，
化简得： ，
所以点 B的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆（不含 x轴上的两个点），如图，
由图可知， .
【答案】
【例 4】已知点 ， ，点 P在直线 上，若满足 的点 P
有两个，则实数 m的取值范围为______.
【解析】设 ，则 ， ，
，
整理得点 P的轨迹方程为圆 ，
所以问题等价于直线 与圆 C相交，故 ，
解得： 或 .
【答案】
【反思】由 可确定隐形圆，其中 A、B是两定点.
【 例 5】 设 点 ， 圆 ， 若 圆 C上 存 在 点 M， 使 得
，其中 O为原点，则实数 m的取值范围为______.
【解析】设 ，则由 可得 ，化简得：
，所以问题等价于圆 C与圆 有公共点，
故 ，
解得： 或 .
【答案】
【反思】 是定值可确定隐形圆，其中 A、B是两定点.
【例 6】在平面直角坐标系 中，已知 B、C为圆 上两点，点 ，且
，则线段 的长的取值范围为______.
【解析】如图 1，设 中点为 ，则 ， ，所以
， 又 ， 所 以 ， 故
，整理得： ，从而点 M的轨迹是圆，圆
心为 ，且点 A在该圆内， ，故 ，因为
，所以 .
解法 2：如图 2，作矩形 ，设 ，由矩形性质知， ，
所以 ，化简得： ，从而点 Q的轨迹是以原点为圆心， 为
半径的圆，因为 ，所以 ，又 ，
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