《2023届高考数学一轮复习解题技巧方法》第七章 第5节 圆的切线、切点弦结论-解析版

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第5节 圆的切线、切点弦结论
知识与方法
1求过圆 上一点 的圆 C的切线的步骤如下：
（1）先验证经过点 P且垂直于 x轴的直线是否和圆 C相切，若是，如图 1所示，所求
切线为 ，问题求解完毕；若否，则进行下一步；
（2）设切线斜率为 k，如图 2所示，由 切线，求出 k，用点斜式写出切线的方程，
问题求解完毕.
上述问题的结论：圆 C上点 P处的切线的方程为 .
2求过圆 外一点 的圆 C的切线的步骤如下：
（1）先验证过点 P且垂直于 x轴的直线是否和圆相切，若是，如图 3所示，其中一条
切线为
（2）设切线的斜率为 k，用点斜式写出切线的方程，由圆心到切线的距离 ，解
出k，求得切线方程.
3.过圆 外一点 作圆 C的两条切线，切点分别为 A和
B，如图 4所示，则切点弦 所在直线的方程为
典型例题
【例 l】圆 在点 处的切线方程为______.
【解析】显然点 P在圆 C上，故所求切线的方程为 ，化简得：
.
【答案】
变式 1 圆 在点 处的切线方程为______.
【解析】易验证点 P在圆 C上，故所求切线的方程为 ，化简得：
【反思】过圆 C上的点 作圆 C的切线，则切线的方程可以在圆 C的一般式方程中
将 换成 ，将 换成 ，将 x换成 ，将 y换成 得到.
【答案】
变式 2 已知圆 ，则：
（1）圆 C的过点 的切线方程为_______；（2）圆 C的过点 的切线方程为__
_____
【解析】（1）显然过点 P且斜率不存在的直线 与圆 C不相切，
故可设切线的方程为 ，
即 ，所以 ，解得： ，故圆 C的过点 P的切线方程为
；
（2）易得过点 Q且斜率不存在的直线 与圆 C相切，设另一条切线的方程为
，即 ，所以 ，解得： ，
所以该切线的方程为 ，化简得： ，
综上所述，圆 C的过点 Q的切线方程为 或 .
【答案】（1） ；（2） 或
【例 2】已知圆 外一点 ，过点 P作圆 C的两条切线，切点分别为 A和
B，则直线 的方程为_______
【解析】由题意，切点弦 所在直线的方程为 ，即
【答案】
变式 1 已知圆 外一点 ，过点 P作圆 C的两条切线，切点
分别为 A和B，则直线 的方程为______.
【解析】由题意，切点弦 所在直线的方程为
化简得：
【反思】过圆 C外的点 作圆 C的两条切线，
则切点弦所在直线的方程，可在圆 C的一般式方程中将 换成 ，将 换成 ，将 x
换成 ，将 y换成 得到.
【答案】
变式 2 已知圆 ，P为直线 上一点，过点 P作圆 O的两条切线，切
点分别为 A和B，若四边形 的面积为 12，则直线 的方程为______.
【解析】如图， ，
所以四边形 的面积 ，
由题意， ，解得:，
由题意，点 P在直线 上，故可设 ，
则 ，所以 ，
解得： 或 2，
当 时， ，此时直线 的方程为 ，化简得：
当 时， ，此时直线 AB 的方程为 ，化简得： ，
所以直线 的方程为 或
【答案】 或
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