《2023届高考数学一轮复习解题技巧方法》第六章 第9节 三余弦公式-解析版

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第9节 三余弦公式
知识与方法
如下图所示，O、B、C是平面 上的三点， 平面 ，且 和 均为锐
角，则以 O为顶点的三个角满足 .
公式记忆：显然 是三个角中最大的，其余弦值最小，等于另外两个角的余弦值
之积.
典型例题
【例 1】正四面体 中，O为 的重心，则 _______.
【解析】解法 1：如图，不妨设正四面体 的棱长为 2，
则 ， ，所以 .
解法 2：如图，由三余弦公式， ，
显然 ， ，所以 .
【答案】
【例 2】（2019·新课标Ⅰ卷）已知 ，P为平面 外一点，且 ，点 P
到 的两边 、 的距离均为 ，那么点 P到平面 的距离为______.
【解析】解法 1：如图 1，设 平面 于点 E， 于 Q，由题意，不难发现
平分 ，所以 ，又 ，所以 ，
， 由 三 余 弦 公 式 ， ， 所 以
，故 ，从而 ，故点 P到平面 的距离为
.
解法 2：构造如图 2所示的正方体，由点 P到 、 的距离均为 知 P在正方体的对
角面 上，过 P作 平面 于 E，则点 E在直线 上，过 P作 于
Q， 连 接 ， 则 ， 因 为 ， ， 所 以 平 面 ， 所 以
，故 为等腰直角三角形，由 ， 知 ，
从而 ，所以 ，故点 P到平面 的距离为 .
【答案】
【例 3】（2009·浙江）如下图所示，在长方形 中， ， ，E为 中点，
F为线段 上（端点除外）一动点，现将 沿 折起，使平面 上平面 ，
在平面 内过点 D作 ，K为垂足，设 ，则 t的取值范围是________.
【 解 析 】 解 法 1： 在 图 2中 作 于 O， 连 接 ， 平 面 平 面 且
上平面 ，故 ，又 ，所以 平面 ，从
而 ，所以在图 1中，应有 D、O、K三点共线，且 ，
设 ，则 ， ，
所以 ，
易证 ，所以 ，从而 .
解 法 2： 在 图 2中 作 于 O， 连 接 ， 平 面 平 面 且
上平面 ，故 ，又 ，所以 平面 ，从
而 ，
所以在图 1中，应有 D、O、K三点共线，且 ，
分析 F在 上的运动过程知，当 F无限接近 E时，K则无限接近 中点，此时 t无限接
近l， 当 F与C重 合 时 ， 如 图 3， 易 求 得 ，
，
所以 ，显然 ，从而 ，故 ，所以 t的取
值范围为 .
解 法 3： 在 图 2中 作 于 O， 连 接 ， 平 面 平 面 且
平面 ，由三余弦公式， ，
设 ， 易 求 得 ， ，
，所以 ，从而 .
【答案】
强化训练
1.（★★★）如下图所示，矩形 中， ， ，沿 将 折起，使
得点 C在平面 上的射影落在 上，则直线 与平面 所成的角为______.
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