《2023届高考数学一轮复习解题技巧方法》第六章 第8节 三角坐标法破解可变二面角问题-解析版

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第8节 三角坐标法破解可变二面角问题
（新高考、理科专用）
知识与方法
如下图所示，设二面角 的平面角为 ，记 ， ，则点
A的坐标为 ，在很多二面角可变或未知的情形下，可以像这样将动点的坐
标设成三角的形式，参与后续的运算.
典型例题
【例题】如下图所示，三棱锥 中， 是边长为 2的正三角形， ，
若二面角 的大小为 60°，则三棱锥 的体积为_______.
【解析】解法 1：如图，取 中点 O，连接 、 ，由题意， ， ，
所以 平面 ，且 是二面角 的平面角，故 ，作
于E，则 ，所以 平面 ，易求得 ， ，
，所以三棱锥 的体积为 .
解法 2：如图，取 中点 O，连接 、 ，由题意， ， ，所以
平面 ，且 是二面角 的平面角，故 ，易求得
， ，从而 ，所以 .
【答案】1
变式 1 如下图所示，三棱锥 中， 是边长为 2的正三角形， ，
若三棱锥 的体积为 1，则二面角 的大小为______.
【解析】解法 1：如图，取 中点 O，连接 、 ，由题意， ， ，
所以 平面 ，且 是二面角 的平面角，作 于 E，则
，所以 平面 ，易求得 ， ，
因为三棱锥 的体积为 1，所以 ，解得： ，从而
或120°，即二面角 的大小为 60°或120°.
解法 2：如图，取 中点 O，连接 、 ，由题意， ， ，所以
平面 ，且 是二面角 的平面角，设 ，易求得 ，
，
因为三棱锥 的体积为 1，所以 ，解得：
，所以 或 120°，即二面角 的大小为 60°或120°.
解法 3：如图，取 中点 O，连接 、 ， ， ，所以 平面
，且 是二面角 的平面角，设 ，易求得 ，
，以 O为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，
所以 ，解得： ，所以 或 120°，即二面角
的大小为 60°或120°.
【答案】60°或120°
变式 2 如下图所示，三棱锥 中， 是边长为 2的正三角形， ，
E、F分别是 、 的中点，若 ，则三棱锥 的体积为_______.
【解析】如图，取 中点 O，连接 、 ，由题意， ， ，所以
上平面 ，且 是二面角 的平面角，设 ，易求得
， ，以 O为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，
，所以 ， ，因为
，所以 ，
化简得： ，
所以 ，从而 .
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