《2023届高考数学一轮复习解题技巧方法》第六章 第5节 构造常见几何体巧解立体几何小题-原卷版

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第5节 构造常见几何体巧解立体几何小题
（新高考、理科专用）
知识与方法
若立体几何问题的题干并没有给出图形，而是直接描述一些点、线、面的位置关系，
或所给图形的立体感不强，这类题直接想象图形往往难度较大，此时可构造常见的几何体
模型（如正方体、长方体等），运用这些几何体较强的立体感来辅助进行空间想象，是较
好的处理方法.
典型例题
【例 1】在正四面体 中，M为 的中点，则直线 与平面 所成角的正弦值
为________.
变式 1 在正四面体 中，点 M在棱 上，且 ，则直线 与平面
所成角的正弦值为________.
变式 2 在正四面体 中，点 M在棱 上，且 ，则异面直线 与 所
成角的余弦值为________.
【例 2】如下图所示，三棱锥 中， 是边长为 的正三角形， ，
，E和F分别为 、 的中点，则异面直线 、 所成角的余弦值为_____
___.
变式 如下图所示，三棱锥 中， ， ， ，
，E和F分别为 、 中点，则异面直线 、 所成角的余弦值为________.
【 例 3】 二 面 角 的 大 小 为 45° ， ， 于 M， ， ，
，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
变 式 1 二面角 的大小为 60° ， ， 于 M， ， ，
，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
变 式 2 二面角 的大小为 60° ， ， 于 M， ， ，
，则直线 与平面 所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
强化训练
1.（★★★）正四面体 中，点 M、N都在棱 上， ，则异面直线
与 所成角的余弦值为______.
2.（★★★）如下图所示，三棱锥 中， 是等腰直角三角形， ，
， ，则直线 与平面 所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
3. （★★★）如下图所示，三棱锥 中， ， ，
，，则点 C到平面 的距离为_______.
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