《2023届高考数学一轮复习解题技巧方法》第六章 第5节 构造常见几何体巧解立体几何小题-解析版

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第5节 构造常见几何体巧解立体几何小题
（新高考、理科专用）
知识与方法
若立体几何问题的题干并没有给出图形，而是直接描述一些点、线、面的位置关系，
或所给图形的立体感不强，这类题直接想象图形往往难度较大，此时可构造常见的几何体
模型（如正方体、长方体等），运用这些几何体较强的立体感来辅助进行空间想象，是较
好的处理方法.
典型例题
【例 1】在正四面体 中，M为 的中点，则直线 与平面 所成角的正弦值
为________.
【解析】如图 1，设 平面 于 O，则 O是正三角形 的中心，
不 妨 设 ， 则 ， ，
，所以 ，故直线 与平面 所成角
的正弦值为
解法 2：如图 2，将正四面体放到正方体中，设正方体棱长为 2，
则 ， ，所以 ，
易得平面 的法向量可取 ，故
从而直线 与平面 所成角的正弦值为
【答案】
变式 1 在正四面体 中，点 M在棱 上，且 ，则直线 与平面
所成角的正弦值为________.
【解析】如图 1，设 N是 中点， 平面 于 O，则 O是正三角形 的中心，
， 设 ， 易 求 得 ， ，
， ，
，所以 ，
从而直线 与平面 所成角的正弦值为 .
解法 2：如图 2，将正四面体放到正方体中，设正方体棱长为 3，
则 ， ，所以 ，
易得平面 的法向量可取 ，故
从而直线 与平面 所成角的正弦值为
【答案】
变式 2 在正四面体 中，点 M在棱 上，且 ，则异面直线 与 所
成角的余弦值为________.
【解析】解法 1：如图 1，设 N是 的中点， 平面 于 O，则 O是正三角形
的中心，显然 ，所以 ，设 ，易求得 ，
， ， ，
所以 ，故异面直线 与 所成角的余弦值为 .
解法 2：如图 2，将正四面体放入正方体，设正方体棱长为 3，
则 ， ， ， ，
所以 ， ，故
从而异面直线 与 所成角的余弦值为 .
【答案】
【反思】将正四面体放入正方体之中，借助正方体的结构特征来求解问题，是一种很好的
解题方法.
【例 2】如下图所示，三棱锥 中， 是边长为 的正三角形， ，
，E和F分别为 、 的中点，则异面直线 、 所成角的余弦值为_____
___.
【解析】如图，将三棱锥放到正方体中，正方体棱长为 1，
延长 到顶点 S，取 中点 G，连接 、 ，则 ，
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