《2023届高考数学一轮复习解题技巧方法》第六章 第4节 法向量的计算与点到平面距离的计算-解析版

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第4节 法向量的计算与点到平面距离的计算
知识与方法
1．求法向量的“找 0法”
（1）举个例子，设 ， 是平面 内的两个不共线的向量，我们
观察到 的第三个分量是 0，则先将 的前两个分量交叉，并在其中一个分量上添负号，
得到平面 的法向量 n的前两个分量，如 ，再由
求得第三个分量 ，从而 .
（2）若遇到 和 都没有分量是 0的情形，可以先用他们进行线性运算，变出一
个0，再按上面的方法操作．例如，若 ， ，则 ，
注意到 也是平面 内的向量，所以可以用它来求法向量，这样就出现“0”了.
2.计算点到平面的距离常用三种方法
（1）作高法：直接作出过点到平面的垂线段。计算该垂线段的长度即可.
（2） 等 体 积 法 ： 以 三 棱 锥 为 例 ， 可 以 根 据 得 出
，其中 是点 A到平面 的距离， 是点 B到平面 的距离
可以利用上述方程求解 或 .
（3）向量法：如下图所示，P为平面 外一点，A为平面 上任意一点，n为平面
的一个法向量，则点 P到平面 的距离
提醒：文科生可以忽略本节与向量法有关的内容，只需掌握作高法和等体积法.
典型例题
【例题】在棱长为 2的正方体 中，点 A到平面 的距离为_______.
【解析】如图，易证 ，故 平面 ，所以 A、E两点到平面 的距
离相等，显然四面体 是正四面体，所以点 D在平面 上的投影恰为
的中心 G，取 中点 F，则 ，所以 平面 ，故所求距离与 的长
相等，设 中点为 H，则 平面 ，所以 ，故在 中，
， ，所以 ， ，从而点 A到
平面 的距离为 。
解法 2：易得 是边长为 的正三角形，故 ，
设所求距离为 d， ，
由 得： ，解得： .
解法 3：建立如图所示的坐标系，则 ， ， ，所以
， ， ，用“找 0法”求得平面 的法向量
为 ，从而点 A到平面 的距离 .
【答案】
强化训练
1.（★★★）如下图所示，棱长为 2的正方体 中，E为 中点，则点 D
到平面 的距离为______.
【解析】解法 1：以 A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， ，
， ，所以 ， ， ，则由找“0”
法可求得平面 的法向量 ，从而点 D到平面 的距离
.
解法 2：如图，取 中点 F，连接 ，显然 ，所以 平面 ，从而
点D和点 F到平面 的距离相等，易求得 ， ，所以
，设点 F到平面 的距离为 d，则
，
另一方面， ，所以 ，因为
，所以 ，从而 ，
故点 D到平面 的距离为 .
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