《2023届高考数学一轮复习解题技巧方法》第六章 第3节 外接球经典模型：二面角模型-解析版

3.0 envi 2025-03-07 18 4 1.52MB 16 页 3知币
侵权投诉
第3节 外接球经典模型：二面角模型
（新高考、理科专用）
知识与方法
设有公共边 的 和 构成二面角 ，若 A、B、C、D四点在同
一球面上，则计算该球的半径（或体积、表面积等）这类问题，本节我们简称为二面角模
型.无论 和 是什么样的三角形，二面角 多大，该模型下外接球半径
的计算原理是大致相同的.如下图所示，假设 和 是两个确定的三角形，二面角
的平面角为 ，则这类问题的计算步骤如下：
（1） 找 到 和 的 外 心 、 ， 设 E为 中 点 ， 则 ，
，所以 即为二面角 的平面角，故 .
（2）分别过 、 作 和 所在平面的垂线交于点 O，则 O即为球心，设
， 和 的外接圆半径分别为 和 ，则 ，
同理， ；
（3）在 中，由余弦定理 可求得 ；
（4）注意到 ，所以 O、 、E、 都在以 为直径的圆上，
该圆也是 的外接圆，设其半径为 r，则由正弦定理， ，从而求得
；
（5）在 中，根据 计算球 O的半径.（看不懂这些步骤?去看看
视频吧）
提醒：①上面的计步骤是针对一般的情形，若已知条件比较特殊，如 和
为直角三角形，又或者二面角 是直角等，计算过程可以相应简化；②若设
， ，则 ，特别地，当
二面角 为直二面角时， ，代入上述公式可得
，这是这一模型下外接球半径的计算公式，其推导方法可
以参考本节的配套视频，下面通过一系列例题来给同学们讲解具体问题中的求解办法.
典型例题
【例题】如下图所示，三棱锥 中， 是边长为 2的等边三角形，若
，二面角 的大小为 90°，则三棱锥 的外接球的表面积为_
______.
【解析】如图，由题意， 是等腰直角三角形，故其外接圆的圆心为斜边 中点 D，
连接 ，由 为正三角形知 ，又二面角 的大小为 90°，所以
上平面 ，
故球心 O必在直线 上，而球心 O到A、B、C三点的距离相等，所以球心 O即为
的中心，从而 ，故三棱锥 的外接球的表面积 .
【答案】
【反思】在直二面角条件下，若其中一个三角形是直角三角形且公共边恰为斜边，则外接
球的半径等于另一个三角形的外接圆半径.
变式 1 四面体 中，平面 平面 ， ， ，
则四面体 的外接球的表面积为_______.
【解析】 ，
即 为直角三角形，故外接球半径 R等于 的外接圆半径 r，
由正弦定理， .
【答案】
变式 2 四面体 中， ， ， ，则此四
面体外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【解析】如图，在 中
，由余弦定理， ，
同理可求得 ，又 ，且 ，所以 为正三角形 ，
设 中点为 E，则 ， ，
易求得 ， ，所以 ，故 ，
从而二面角 为直二面角， 的外接圆半径 ，
在 中， ，
由正弦定理， ，所以 的外接圆半径 ，
设 和 的外心分别为 和 ，分别过 和 作 和 所在平面的垂
线交于点 O， 则 O即为四面体 的外接球的球心， ，
，
《2023届高考数学一轮复习解题技巧方法》第六章 第3节 外接球经典模型：二面角模型-解析版.docx

共16页,预览5页

还剩页未读， 继续阅读

相关推荐

更多
立即下载
作者：envi 分类：高中 价格：3知币 属性：16 页 大小：1.52MB 格式：DOCX 时间：2025-03-07

开通VIP享超值会员特权

  • 多端同步记录
  • 高速下载文档
  • 免费文档工具
  • 分享文档赚钱
  • 每日登录抽奖
  • 优质衍生服务

作者详情

相关内容

更多

推荐作者

热门标签

大联考 高考地理 英语真题 听力 语法填空 石家庄 数学竞赛 读后续写 英语阅读 深圳中学
/ 16
评分 收藏
分享
立即下载
客服
关注