《2023届高考数学一轮复习解题技巧方法》第六章 第2节 外接球经典模型-解析版
第2节 外接球经典模型:对棱相等模型
知识与方法
四面体 中， ， ， ，这种四面体叫做对棱
相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类四面体的外接球问题.
如 图 ， 设 长 方 体 的 长 宽 高 分 别 为 a、b、c， 则 ， 三 式 相 加 可 得
，而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为 R，
则 ，所以 .
典型例题
【例题】四面体 中， ， ， ，则该四面体
外接球的体积为_______.
【解析】由题意，四面体 是对棱相等模型
.
【答案】
变式 1 三棱锥 中， ， ，则该三棱锥外接球表
面积为（ ）
A. B. C. D.
【解析】由题意，四面体 是对棱相等模型
.
【答案】D
变式 2 A、B、C、D四点在半径为 的球面上，且 ， ，
，则四面体 的体积为______.
【解析】由题意，四面体 是对棱相等模型，设 ，
则 ，将四面体 补全为如图所示的长方体，
设长方体的长、宽、高分别为 a、b、c，则 ，
解得： ，所以四面体 的体积 .
【答案】20
强化训练
1.（★★★）四面体 中， ， ， ，则四
面体 外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【解析】由题意，四面体 是对棱相等模型，
.
【答案】C
2. （ ★ ★ ★ ） 半 径 为 1的 球 面 上 有 不 共 面 的 A、B、C、D四 点 ， 且 ，
， ，则 （ ）
A.16 B.8 C.4 D.2
【解析】由题意，四面体 是对棱相等模型，
【答案】B
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