《2023届高考数学一轮复习解题技巧方法》第九章 第4节 二维形式的权方和不等式秒杀分式最值-解析版

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第5节 二维形式的权方和不等式秒杀分式最值
知识与方法
二维形式的权方和不等式，设 x，y均为正数，且 ，则 ，
当且仅当 时取等号；特别地，当 时， .
提醒：①利用这一不等式，可以速求一些分式型代数式的最值，其核心仍然是凑定值；
②在权方和不等式中，m可以取任意实数，且当 的符号不同时，不等号的方向有
差异，而高中数学中常用的是 m为正数的情形，尤其是 的情形，所以这一节只介绍 m
为正数情况下的权方和不等式.
典型例题
【例题】已知正实数 x、y满足 ，则 的最小值为______.
【解析】解法 1：由题意， ，
当且仅当 时取等号，结合 可得此时 ， ，所以 .
解法 2：由权方和不等式，
当且仅当 时取等号，结合 可得此时 ， ，所以 .
【答案】9
【反思】上述解法 2的关键是注意到分母相加为定值，所以可以直接用权方和不等式.
变式 1 已知正实数 x、y满足 ，则 的最小值为______.
【解析】解法 1：由题意， ，
当且仅当 时等号成立，结合 可得此时 ， ，
所以 .
解法 2：由权方和不等式， ，
当且仅当 时等号成立，结合 可得此时 ， ，
所以 .
【答案】
变式 2 已知正实数 x、y满足 ，则 的最小值是______.
【解析】解法 1：由题意，
当且仅当 时等号成立，结合 可得此时 ， ，所以 .
解法 2：由权方和不等式， ，从而 ，
当且仅当 时取等号，结合 可得此时 ， ，所以 .
【答案】9
变式 3 已知正实数 x、y满足 ，则 的最小值是______.
【解析】解法 1：由题意，
，
当且仅当 时取等号，结合 可得 ，故 .
解法 2：由权方和不等式， ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，结合 可得 ，
故.
【答案】4
变式 4 函数 的最小值为______.
【解析】解法 1：由题意，
，
当且仅当 时等号成立，解得： ，所以 .
解法 2：由权方和不等式， ，
当且仅当 时等号成立，解得： ，所以 .
【答案】4
变式 5 已知 ，则 的最小值为______.
【解析】解法 1：
，
当且仅当 时取等号，结合 可得 ， ，
所以 的最小值为 9.
解法 2：由权方和不等式， ，
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