《2023届高考数学一轮复习解题技巧方法》第八章 第19节 极点与极线-解析版

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第19 节 极点与极线
知识与方法
极点极线是射影几何中的重要内容，在中学教材中并未提及，但纵观历年高考的解析
几何大题，可以发现诸多试题都有极点极线的背景，所以了解极点极线，可以让我们站在
更高处来看待问题．这一小节我们先介绍极点极线的几何定义、代数定义和一些常用的性
质，再辅以若干典型的高考真题的极点极线观点，来加深大家的理解.
1．极点极线的几何定义：以椭圆为例，如图 1所示，设 P为椭圆外一点，过 P作椭圆
的两条割线分别与椭圆相交于 A、B和C、D四点， 与 交于点 M， 与 交于点
N，则称点 P为直线 关于椭圆的极点，直线 为点 P关于椭圆的极线.另一方面，图
1也可以这么来看，从椭圆外的点 N作椭圆的两条割线分别交椭圆于 A、D和B、C四点，
与 交于点 M，AB 与CD 交于点 P，所以点 N和直线 PM 也是一对极点极线，事实上，
点M和直线 PN 也是一对极点极线，因此在 中，以其中一个顶点作为极点，那么该
顶点的对边所在的直线就是对应的极线，从而我们将 称为“自极三角形”，为了加
以区分，图中画成了虚线．这个图形有两种特殊情况：
（1）如图 2所示，当四边形 有一组对边平行时，如 ，此时我们看成
和 的交点 N在无穷远处，那么以 M为极点，对应的极线是图 2中的 ，其中
；以 P为极点，那么极线是 ，其中 ；
（2）如图 3所示，当其中一条割线变成切线时，此时 D、M、N几个点就都与切点 C
重合，从而点 C和切线 是一对极点极线.
2．极点极线的代数定义：在平面直角坐标系 中，设有圆锥曲线 C（圆、椭圆、双
曲线、抛物线均可）和不与 C的对称中心重合的点 ，在圆锥曲线 C的方程中，用
替换 ， 替换 ， 替换 x， 替换 y，得到的方程即为以 P作为极点的
极线 的方程.
例 如 ， 设 椭 圆 C的 方 程 为 ， 极 点 为 ， 则 与 P对 应 的 极 线 为
，即 ；
又如，设抛物线 C的方程为 ，极点为 ，则与 P对应的极线为
，即 .
可以看到，极点与极线是一个成对的概念，且若给定极点，求极线的规则是统一的，
与圆锥曲线的类型无关，与极点 P的位置无关，下面以椭圆为例，说明极点 P在不同位置
时，极线 l的情形：
（1）当点 P在椭圆 C上时，极线 l为椭圆 C在P处的切线，如图 4所示；
（2）当点 P在椭圆 C外部时，极线 l为点 P对椭圆 C的切点弦所在直线，如图 5所示；
（3）当点 P在椭圆 C内部时，过点 P任作椭圆 C的一条割线交 C于A、B两点，椭圆
C在A、B两点处的切线交于点 Q，则当割线 绕着点 P旋转时，点 Q的轨迹就是极线
l，如图 6所示.
3．极点极线的常用性质：（下面以椭圆为例）
（1）如图 7所示，O为椭圆中心，点 P在椭圆内，延长 交椭圆于点 Q，交椭圆与
点P对应的极线 l于点 M，则 、 、 成等比数列；当 P恰好为弦 的中点时，
直线 的方程为 ，且极线 l和椭圆在点 Q处的切线均与 平行.
（2）调和分割性：如图 8所示，设极点 P的极线是直线 l，过 P作椭圆的一条割线交
椭圆于 A、B两点，交极线 l于点 Q，则 P、A、Q、B成调和点列，即 （或写成
）
（3）配极原理：若点 P关于椭圆的极线过点 Q，则点 Q关于椭圆的极线也过点 P.由
此出发，我们可以得出共线点的极线必然共点，共点极线的极点必然共线，如图 9所示，
极点 、 、 的极线分别为 、 、 ，则 、 、 共线 、 、 共点.
提醒：极点极线的分析方法只能让我们在看到问题时能够迅速“窥得天机”，不能作
为正式的作答，我们在学习时，仍然应该以基本方法为主，技巧偏方为辅，不能本末倒置.
典型例题
【例 1】（2021· 新高考Ⅱ卷·多选）已知直线 与圆 ，点
则下列说法正确的是（ ）
A.若点 A在圆 C上，则直线 l与圆 C相切
B.若点 A在圆 C内，则直线 l与圆 C相离
C.若点 A在圆 C外，则直线 l与圆 C相离
D.若点 A在直线 l上，则直线 l与圆 C相切
【 解 析 】 解 法 1：A项， 若 点 A在 圆 C上 ， 则 ， 圆 心 C到 直 线 l的距 离
，所以直线 l与圆 C相切，故A项正确；
B项， 若 点 A在 圆 C内 ， 则 ， 圆 心 C到 直 线 l的距 离
，所以直线 与圆 C相离，故B项正确；
C项， 若 点 A在 圆 C外 ， 则 ， 圆 心 C到 直 线 l的距 离
，所以直线 l与圆 C相交，故C项错误；
D项，若点 A在直 线 l上 ，则 ，即 ，圆心 C到直 线 l的距 离
，所以直线 l与圆 C相切，故D项正确.
解法 2：显然对于圆 C，以 作为极点，那么极线就是
A项，若极点 A在圆 C上，则极线 l是圆 C的切线，故A项正确；
B项，若极点 A在圆 C内，则极线 l与圆 C相离，故B项正确；
C项，若极点 A在圆 C外，则极线 l是圆 C的切点弦，应与圆 C相交，故C项错误；
D项，若极点 A在直线 l上，这是极线恰好为切线，极点为切点的情形，故D项正确.
【答案】ABD
【例 2】（2011·四川）椭圆有两个顶点 ， ，过其焦点 的直线 l与椭圆
交于 C、D两点，并与 x轴交于点 P，直线 与 交于点 Q.
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