《2023届高考数学一轮复习解题技巧方法》第八章 第18节 圆锥曲线的光学性质-解析版

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第18 节 圆锥曲线的光学性质
知识与方法
1．抛物线的光学性质：如图 1所示，从抛物线的焦点 F发出的光线，被抛物线反射后，
得到的是一系列的与抛物线对称轴平行（或重合）的光线；如图 2所示，设抛物线在 P处
的切线 l交对称轴于点 Q， 上切线 l交对称轴于点 M，则焦点 F是 的中点.
2．椭圆的光学性质：如图 3所示，从椭圆的一个焦点发出的光线，被椭圆反射后，必
定经过另一个焦点；如图 4所示，椭圆在点 P处的切线为 l，直线 交直线 于点
Q，则 平分 ，由角平分线性质定理， .
3.双曲线的光学性质：如图 5所示，从双曲线一个焦点发出的光线，被双曲线反射后，
反射光线的反向延长线交于另一个焦点；如图 6所示，双曲线在点 P处的切线 l与直线
相交于点 Q，则 平分 ，由角平分线性质定理，
典型例题
【例 1】椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光
线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆 C的长轴为 ，焦距为 ，若一条光线从椭圆的左焦
点以垂直于长轴的方向发出，第一次回到左焦点所经过的路程为 ，则椭圆 C的离心率
为_______.
【解析】如图，根据题干信息， ，
所以 ，故 .
【答案】
【例 2】如右图所示，椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆
反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知曲线 的左、右焦点分别为 、
，直线 l与椭圆 C相切于点 P，且 ，过点 P且与直线 l垂直的直线 与椭圆的长
轴交于点 M，则 （ ）
A. B. C. D.
【解析】如图，由椭圆的定义， ，又 ，所以 ，
根据椭圆的光学性质， 是 的平分线，
所以 .
【答案】C
【例 3】智慧的人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质，比如电影放
映机利用椭圆镜面反射出聚焦光线，探照灯利用抛物线镜面反射出平行光线.如右图所示，
从双曲线右焦点 发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线，且反射光线的反向延长线
交于左焦点 .已知双曲线的离心率为 ，则当入射光线 和反射光线 互相垂直时
（其中 P为入射点）， 的大小为（ ）
A. B. C. D.
【解析】如图，因为双曲线的离心率为 ，所以不妨设其方程为 ，则 ，
由题意， ，所以点 P在圆 上，不妨设 P在第一象限，联立
解得： ， ，所以 ，设 ，
则直线 的斜率 ，
所以 ，故 .
【答案】D
【例 4】双曲线有光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线，被双曲线反射后，反射光线
的反向延长线交于另一个焦点.已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，从
发出的光线 被双曲线反射后，反射光线为 ，若双曲线 C在点 P处的切线交 x轴
于点 I，且 ，则 的周长为______.
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