《2023届高考数学一轮复习解题技巧方法》第八章 第17节 仿射变换-解析版

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第17 节 仿射变换
知识与方法
在 椭 圆 中 ， 我 们 运 用 坐 标 变 换 ， 则 可 以 得 到 圆
，这种操作叫做仿射变换，运用仿射变换，可以将某些椭圆问题转化到圆中
来解决，从而使得问题简化，上述变换过程有如下对应关系：
项目 变换前 变换后
点的坐标
直线的斜率
图形的面积
点与点的位置关系 中点为 M中点为
线与线的位置关系 直线 m和直线 n相交 直线 和直线 相交
直线 m和直线 n平行 直线 和直线 平行
点与线的位置关系 点A在直线 l上点 在直线 上
点A不在直线 l上点 不在直线 上
等倾斜程度线段长的关系
总之，经过仿射变换，绝对量（如坐标、面积、斜率、线段的长等）都发生了变化，
相对量（如点、线、面的位置关系，直线与椭圆的位置关系，共线线段长度之比等）却没
有发生变化.
提醒：①仿射变换常用于解决面积问题（尤其是一个顶点为原点的三角形面积）、斜
率问题、共线线段比例问题等；②需要注意的是，仿射变换的方法一般不推荐在解答题中
使用，下面通过一些实例来分析在具体问题中如何操作.
典型例题
【例 1】设直线 与椭圆 相交于 A、B两点，则 的面积的最大
值为_______.
【解析】解法 1：当直线 的斜率不存在时，设其方程为
联立 解得： ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，所以
当直线 l斜率存在时，设其方程为 ，设 ， ，
联立 消去 y整理得： ，
判别式 ①，
所以 ，原点 O到直线 l的距离
，
从而
当且仅当 时取等号，此时 ，
代入①知 ，故 ，
综上所述， 的面积的最大值为 .
解法 2：作变换 ，则椭圆 C变成圆 ，如图，
因为 ，
所以当 时， 取得最大值 ，
因为 ，所以 ，从而 的最大值为 .
【答案】
【例 2】已知椭圆 的左右顶点为 A、B，P为椭圆 C上不与 A、B重合的动点，
则直线 、 的斜率之积为_______.
【解析】本题当然可以利用椭圆的第三定义，快速得出结果为 ，其推导方法是设点 P
的坐标，运用点 P的坐标满足椭圆的方程来化简 、 的斜率之积，得出斜率之积为定
值，
其 实 也 可 以 用 仿 射 变 换 来 证 明 这 一 结 果 ， 作 变 换 ， 则 椭 圆 C变 换 成 圆
，
如图，在圆 中，显然 是直径，所以 ，从而 ，
又 ， ，所以 ，故 .
【答案】
【例 3】已知过点 的直线 l与椭圆 交于 A、B两点，若 M恰好为
的中点，则直线 l的方程为_______.
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