《2023届高考数学一轮复习解题技巧方法》第八章 第14节 曲线系方程巧解四点共圆问题-原卷版

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第14 节 曲线系方程巧解四点共圆问题
知识与方法
圆锥曲线中的四点共圆问题在高考中是一大难点，常规的做法是用垂径定理找圆心，
并通过计算得出圆心到四点的距离相等，从而证出四点共圆，再求出圆的方程 .除此之外，
应用曲线系方程也可以很好地解决这类问题.
1.曲线系方程：设 和 分别表示平面上的两条有公共点的曲线，则
经过两曲线交点的曲线系方程可以为 .
2．高考中常见的四点共圆问题是两条直线与圆锥曲线交于不同的四点，判断四点是否
在同一圆上，如果是，需求出圆的方程.应用曲线系方程求解这类四点共圆问题的解题步骤
是：
（1）设经过 圆 锥 曲线和两 直 线 交点 的曲 线 系 方 程 为 ， 其 中
表示圆锥曲线方程， 表示两直线构成的曲线的方程;
（2）将 展开，合并同类项，与圆的一般方程
比较系数，求出 的值；
（3）将 反代回方程 的展开式，化为圆的标准方程，从而得出
四点共圆且求出了圆的方程.
3.圆锥曲线中四点共圆问题的结论：设两条直线和圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物
线）交于四点，则四个交点在同一个圆上的充要条件是两直线倾斜角互补.
典型例题
【例 1】（2014·大纲卷）已知抛物线 的焦点为 F，直线 与 y轴的交
点为 P，与 C的交点为 Q，且
（1）求 C的方程；
（2）过 F的直线 l与C相交于 A、B两点，若 的垂直平分线与 C相交于 M、N两点，
且A、M、B、N四点在同一圆上，求 l的方程.
【例 2】设 A、B是椭圆 上的两点，点 是线段 的中点，线段 的垂
直平分线与椭圆相交于 C、D两点.
（1）确定的取值范围，并求直线 的方程；
（2）证明：当 取（1）中任意值时，A、B、C、D四点都在同一个圆上.
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