《2023届高考数学一轮复习解题技巧方法》第八章 第14节 曲线系方程巧解四点共圆问题-解析版

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第14 节 曲线系方程巧解四点共圆问题
知识与方法
圆锥曲线中的四点共圆问题在高考中是一大难点，常规的做法是用垂径定理找圆心，
并通过计算得出圆心到四点的距离相等，从而证出四点共圆，再求出圆的方程 .除此之外，
应用曲线系方程也可以很好地解决这类问题.
1.曲线系方程：设 和 分别表示平面上的两条有公共点的曲线，则
经过两曲线交点的曲线系方程可以为 .
2．高考中常见的四点共圆问题是两条直线与圆锥曲线交于不同的四点，判断四点是否
在同一圆上，如果是，需求出圆的方程.应用曲线系方程求解这类四点共圆问题的解题步骤
是：
（1）设经过 圆 锥 曲线和两 直 线 交点 的曲 线 系 方 程 为 ， 其 中
表示圆锥曲线方程， 表示两直线构成的曲线的方程;
（2）将 展开，合并同类项，与圆的一般方程
比较系数，求出 的值；
（3）将 反代回方程 的展开式，化为圆的标准方程，从而得出
四点共圆且求出了圆的方程.
3.圆锥曲线中四点共圆问题的结论：设两条直线和圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物
线）交于四点，则四个交点在同一个圆上的充要条件是两直线倾斜角互补.
典型例题
【例 1】（2014·大纲卷）已知抛物线 的焦点为 F，直线 与 y轴的交
点为 P，与 C的交点为 Q，且
（1）求 C的方程；
（2）过 F的直线 l与C相交于 A、B两点，若 的垂直平分线与 C相交于 M、N两点，
且A、M、B、N四点在同一圆上，求 l的方程.
【解析】（1）联立 解得： ，所以点 Q的坐标为 ，
因为 ，所以 ，解得： 或 （舍去），故抛物线 C的方程
为.
（2）解法 1：显然直线 l的斜率存在且不为 0，故可设其方程为 ，设
,，联立 消去 x整理得： ①，
由 韦 达 定 理 ， ， 所 以 ， 故 中 点 为
，
所以直线 的方程为 ，
代入 消去 x整理得： ②，
设 ， ， 则 ， 故
，
从而 的中点 E的坐标为 ，
所以
由A、M、B、N四点在同一圆上知圆心必为点 E，所以 ，
而 ，
所以 ，
，
由 得： ，解得： ，
经检验，均满足方程①和②的判别式大于 0，故直线 l的方程为 或 .
解 法 2： 由 题 意 ， 直 线 l不 与 y轴 垂 直 ， 故 可 设 其 方 程 为 ， 设 ，
，联立 消去 x整理得： ，显然 ，
由韦达定理， ，所以 ，
故 中点 D的坐标为 ，
从而直线 的方程为 ，即 ，
可设经过 A、M、B、N四点的曲线系方程为 ，
整 理 得 ：
①，因为 A、M、B、N四点四点共圆，所以存在 ，使方程①表示圆，
此时应有 ，解得： 或
当 ， 时，代入式①整理得： ，
从而 A、M、B、N四点都在圆 上，
当 ， 时，代入式①整理得： ，
从而 A、M、B、N四点都在圆 上，
综上所述，直线 l的方程为 或 .
【例 2】设 A、B是椭圆 上的两点，点 是线段 的中点，线段 的垂
直平分线与椭圆相交于 C、D两点.
（1）确定的取值范围，并求直线 的方程；
（2）证明：当 取（1）中任意值时，A、B、C、D四点都在同一个圆上.
【解析】解：（1）由题意，N点在椭圆内部，故 ，即 ，设 ，
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