《2023届高考数学一轮复习解题技巧方法》第八章 第11节 椭圆中的两个最大张角结论-解析版

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第11 节 椭圆中的两个最大张角结论
知识与方法
1.如图 1所示，设 A、B是椭圆 的左、右顶点，P是椭圆 C上
不与 A、B重合的一个动点，则 始终为钝角，且当 P为短轴端点时， 最大.
2如图 2所示，设 、 是椭圆 的左、右焦点，P是椭圆 C上
的一个动点，则当 P为短轴端点时， 最大.
典型例题
【例 1】已知椭圆 的左、右顶点分别为 A、B，P为椭圆 C上不与 A、B重合
的动点，则 的最大值为______.
【解析】解法 1：如图，不妨设 P在x轴上方，作 轴于点 Q，
设 ， ，则 ，
设 ，则 ， ，
而
①，因为点 P在椭圆 C上，所以 ，从而 ，代入①得：
，
显然当 时， 取得最大值 ，此时 也取得最大值 .
解法 2：如图，不妨设 P在x轴上方，
设 ， ，则
由椭圆第三定义， ，所以 ，
而 ，
显然 、 均为锐角，所以 ，
故 ，
当且仅当 时取等号，此时 ，P为椭圆的上顶点，
所以 的最大值为 ，故 的最大值为 .
【答案】
【反思】上面的求解过程给出了两种推导椭圆上的动点对左、右顶点最大张角结论的方法
事实上，这一结论对任意的椭圆都成立，若熟悉了这一结论，小题中就可以直接用了.
变式 1 椭圆 的左、右顶点分别为 A和B，P为椭圆 C上不与
A、B重合的动点，若 的最大值为 ，则 ______.
【解析】 的最大值为 的最大值为 ，
如图，由最大张角结论，当 P为短轴端点时， 最大，
所以图中的 ，从而 ，
故 ，解得： .
【答案】1
变式 2 椭圆 的左、右顶点分别为 A和B，若 C上存在点 P，使
得 ，则 m的取值范围是______.
【解析】椭圆 C上存在点 P，使得 等价于最大张角大于等于 ，
如图， ，
解得： .
【答案】
【例 2】椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，P为椭圆 C上不与 A、B重合的动
点，则 的最小值为______.
【解析】如图，由题意， ，设 ， ，由椭圆定义， ，
在 中，由余弦定理，
，
当且仅当 时取等号，此时 P为椭圆的短轴端点，所以 的最小值为 .
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