《2023届高考数学一轮复习解题技巧方法》第八章 第10节 抛物线的常用结论-解析版

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第10 节 抛物线的常用结论
知识与方法
1.如图 1所示，设抛物线 的准线为 l，焦点为 F，l与x轴交于点
K
，
过F的直线 交 C于A、B两点， 于点 M， 于点 N，设 中点为 P，
于点 Q，设 ， ，则：
（1） ， ；
（2） ；
（3） ，即以焦点弦 为直径的圆与准线 l相切；
（4）以焦半径 或 为直径的圆与 y轴相切；
（5）A、O、N三点共线，B
、
O、M三点共线；
（6）直线 与直线 的斜率之和为 0，即 .
2．如图 2所示， 是抛物线 的通径，K是抛物线 C的准线 l与x
轴的交点，则 是等腰直角三角形，且 、 均与抛物线 C相切.
3．抛物线的平均性质：如图 3所示，过点 D的直线与抛物线 交于
A、B两点，则 .
4．设 A、B是抛物线 上的两个动点，O为原点，若 ，则
直线 过定点 .
提醒：焦点弦有关的结论在本章前面部分已有涉及，此处不再重复 .另外，抛物线与切
线有关的一些性质会在后续小节“抛物线中的阿基米德三角形性质”中归纳，本节暂不涉
及.
典型例题
【例 1】如下图所示，抛物线 的准线为 l，焦点为 F，l与x轴交于点
K，过 F的直线 交 C于A、B两点， 于点 M， 于点 N，设 中点为 P，
于点 Q，设 ， ，证明下列结论：
（1）,；
（2） ；
（3）以焦点弦 为直径的圆与准线 l相切；
（4）以焦半径 或 为直径的圆与 y轴相切；
（5）A、O、N三点共线，B、O、M三点共线；
（6）.
【解析】（1）由题意， ， ， ，因为 F、A、B三点共线，所以
，
故 ，从而 ，所以 ，
故 ，所以
显然 ，所以 ， .
（2）由题意， ， ，所以
，故
（3）由题意， 是梯形 的中位线，
所以 ，从而 ，故以 为直径的圆
与直线 l相切.
（4）由题意， 中点为 ， ，所以点 T到y轴的距离
，故以 为直径的圆与 y轴相切，同理可得以 为直径的圆也与 y轴
相切.
（5） ， ，因为 ，所以 ，
从而 ，所以 A、O、N三点共线，同理可证 B、O、M三点也共
线.
（6）由题意， ，
所以
，
从而直线 和 关于 x轴对称，故 .
【例 2】设抛物线 的焦点为 F，O为原点，过 F的直线 l与抛物线 C交于 A、B两
点，则 和 的面积之和的最小值为_______.
【解析】如图，设 ， ，则 ，所以 ，
，
当且仅当 ，即 时等号成立，所以 和 的面积之和的最小值为
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