《2023届高考数学一轮复习解题技巧方法》第八章 第8节 椭圆、双曲线的两个斜率积结论-原卷版

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第8节 椭圆、双曲线的两个斜率积结论
知识与方法
1．椭圆的第三定义：如图 1所示，设椭圆 的左、右顶点分别
为A和B， 点 P为椭圆 C上不与 A、B重合的动点，则直线 、 的斜率之积
.
推广：如图 2所示，A、B为椭圆 上关于原点对称的任意两点，
P为椭圆 C上的动点且直线 、 的斜率均存在，则直线 、 的斜率之积
2．椭圆中点弦结论：如图 3所示，设 是椭圆 的任意一条
不垂直于坐标轴且不过原点的弦， M为 的中点，则直线 与直线 的斜率之积
.
3． 双 曲 线 的 第 三 定 义 ： 如 图 4所 示 ， 设 A、B分 别 为 双 曲 线
的左、右顶点，P为双曲线上不同于 A、B的任意一点，则直线 、 的斜
率之积
推广：如图 5所示，设 A、B为双曲线 上关于原点 O对称的
任意两点，P为双曲线 C上的动点，且 、 的斜率都存在，则直线 、 的斜率之
积
4．双曲线中点弦结论：如图 6所示，设 是双曲线 的不
垂 直 于 坐 标 轴且 不 过 原 点 的弦 ， M为 中 点 ， 则 直 线 与 直 线 的 斜 率 之 积
.
提醒：若是焦点在 y轴上的椭圆或双曲线，则上述四个斜率积的结果都要取倒数.
典型例题
【例 1】设椭圆 的左、右顶点分别为 A和B，P为椭圆 C上不与 A、B重合的
任意一点，则直线 、 的斜率之积为______.
变式 1 设椭圆 的左、右顶点分别为 A和B，点 P为椭圆 C上一点
且直线 、 的斜率之积为 ，则椭圆 C的离心率为______.
变式 2 设A为椭圆 上第一象限的一点，B与A关于原点对称，点
P在椭圆 C上且直线 、 的斜率之积为 ，则椭圆 C的离心率为______.
变式 3 椭圆 的左、右顶点分别为 A和B，点 P在C上，设直线 、 的斜
率分别为 、 ，若 ，则 的取值范围是______.
变式 4 已知椭圆 的左、右顶点分别为 A、B，若椭圆 C上存在不与
A、B重合的点 P，使得 ，则椭圆 C的离心率的取值范围是______.
【例 2】不与坐标轴垂直且不过原点 O的直线 l与椭圆 相交于 A、B两点，M
为 的中点，则直线 与直线 l的斜率之积为______.
变式 1 直线 l与椭圆 相交于 A、B两点，O为原点，M为 的中
点，若直线 与直线 l的斜率之积为 ，则椭圆 C的离心率为______.
变式 2 已知直线 l与椭圆 相交于 A、B两点，若 的中点为 ，则直
线l的方程为______.
变式 3 （2013·新课标Ⅰ卷）已知椭圆 的右焦点为 ，过点 F
的直线交椭圆 E于A、B两点，若 的中点坐标为 ，则 E的方程为（ ）
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